- 导数及其应用
- 共31591题
设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1|．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．
正确答案
解（1）当a=1时，f（x）=x2+|lnx-1|，x＞0，
当0＜x＜e时，f（x）=x2+1-lnx，
当x=e时，f（x）=x2，f‘（x）=2x，
当x＞e时，f（x）=x2+lnx-1，
令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切点为（1，2），切线的斜率为1，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：x-y+1=0．
（2）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx-a，
∵a＞0，
∴f（x）＞0恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，ymin=f（e）=e2
②当1≤x＜e时，f（x）=x2-alnx+a，
（i）当
所以f（x）在区间[1，e）上为增函数．
故当x=1时，ymin=1+a，且此时f（1）＜f（e）
（ii）当
f'（x）在
所以f（x）在区间
故当
且此时
（iii）当
f'（x）在x∈（1，e）时为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
当x=e时，ymin=f（e）=e2．
综上所述，当a≥2e2时，f（x）在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e2．
所以此时f（x）的最小值为f（e）=e2；
当2＜a＜2e2时，f（x）在x≥e时的最小值为
而
所以此时f（x）的最小值为
当0＜a≤2时，在x≥e时最小值为e2，在1≤x＜e时的最小值为f（1）=1+a，
而f（1）＜f（e），所以此时f（x）的最小值为f（1）=1+a
所以函数y=f（x）的最小值为
解析
解（1）当a=1时，f（x）=x2+|lnx-1|，x＞0，
当0＜x＜e时，f（x）=x2+1-lnx，
当x=e时，f（x）=x2，f‘（x）=2x，
当x＞e时，f（x）=x2+lnx-1，
令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切点为（1，2），切线的斜率为1，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：x-y+1=0．
（2）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx-a，
∵a＞0，
∴f（x）＞0恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，ymin=f（e）=e2
②当1≤x＜e时，f（x）=x2-alnx+a，
（i）当
所以f（x）在区间[1，e）上为增函数．
故当x=1时，ymin=1+a，且此时f（1）＜f（e）
（ii）当
f'（x）在
所以f（x）在区间
故当
且此时
（iii）当
f'（x）在x∈（1，e）时为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
当x=e时，ymin=f（e）=e2．
综上所述，当a≥2e2时，f（x）在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e2．
所以此时f（x）的最小值为f（e）=e2；
当2＜a＜2e2时，f（x）在x≥e时的最小值为
而
所以此时f（x）的最小值为
当0＜a≤2时，在x≥e时最小值为e2，在1≤x＜e时的最小值为f（1）=1+a，
而f（1）＜f（e），所以此时f（x）的最小值为f（1）=1+a
所以函数y=f（x）的最小值为
曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：
则k=1，
从而tanα=1则α=
故倾斜角为
故选B
设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是
A
B[-1，0]
C[0，1]
D[
正确答案
解析
解：设点P的横坐标为x0，
∵y=x2+2x+3，
∴y′
利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），
又∵
∴
故选：A．
已知点P在曲线y=
正确答案
解：∵y=
∴y′=-
∵k为曲线在点P处的切线的斜率，
∴k的取值范围是（-∞，0）．
故答案为：（-∞，0）．
解析
解：∵y=
∴y′=-
∵k为曲线在点P处的切线的斜率，
∴k的取值范围是（-∞，0）．
故答案为：（-∞，0）．
若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为（ ）
正确答案
解析
解：设切点P（x0，y0），
∵直线x+4y-8=0与直线l垂直，且直线x+4y-8=0的斜率为-
∴直线l的斜率为4，
即y=x4在点P（x0，y0）处的导数为4，
令y′
利用点斜式，得到切线方程为4x-y-3=0．
故选：A．
路灯距离地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
由直角三角形相似得 
解得 h=21t （m/min）=21t×
故选 D．
物体的运动位移方程是S=10t-t2（S的单位：m；t的单位：s），则物体在t=2s的速度是（ ）
正确答案
解析
解：∵质点的运动方程为s=-t2+10t
∴s′=-2t+10
∴该质点在t=2秒的瞬时速度为|-2×2+10|=6．
故选B．
求函数f（x）=
正确答案
解：函数f（x）=
解析
解：函数f（x）=
已知自由落体的运动速度v=gt（g为常数），则当t∈[1，2]时，物体下落的距离为（ ）
A
Bg
C
D2g
正确答案
解析
解：物体从t=1到t=2所走过的路程s=∫
故选：C．
已知f（x）=3x2+5，则从0.1到0.2的平均变化率为（ ）
正确答案
解析
解：∵f（x）=3x2+5，
∴从0.1到0.2的平均变化率为
故选：C．
正确答案
10π
解析
解：∵水波的半径以v=1m/s 的速度向外扩张
水波面积s=πr2=π（vt）2=πt2
∴水波面积的膨胀率s‘=2πt
当半径为5m时
t=5s
∴s'=2π*5=10π
即半径为5m时，这水波面积的膨胀率是10π，
故答案为：10π
Ay=
By=
Cy=
Dy=-
正确答案
解析
解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，依次特征寻找正确选项：
A选项，导数为
B选项，导数为
C选项，导数为
D选项，导数为
故选：A．
如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为______．
正确答案
54
解析
解：∵S=2t3，∴S′=6t2，
∴点在t=3时的瞬时速度为6×32=54
故答案为54
过曲线
正确答案
解析
解：∵
∴该切线的斜率k=y‘|x=1 =-3，
曲线
故所求的切线方程为y-2=-3（x-1），即 3x+y-5=0，
故选 B．
已知函数
（1）求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；
（3）证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．
正确答案
解：（1）f′（x）=x2-4x+3，
则f′（x）=（x-2）2-1≥-1，
即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[-1，+∞）；
（2）由（1）可知，
解得-1≤k＜0或k≥1，
由-1≤x2-4x+3＜0或x2-4x+3≥1
得：
（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2
，则切线方程是：y-
化简得：y=（x12-4x1+3）x
而过B（x2，y2）的切线方程是y=（x22-4x2+3）x
由于两切线是同一直线，
则有：x12-4x1+3=x22-4x2+3，得x1+x2=4，
又由
即-
-
即（4-x2）×4+x22-12=0×4+x22-12=0，x22-4x2+4=0
得x2=2，但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾．
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．
解析
解：（1）f′（x）=x2-4x+3，
则f′（x）=（x-2）2-1≥-1，
即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[-1，+∞）；
（2）由（1）可知，
解得-1≤k＜0或k≥1，
由-1≤x2-4x+3＜0或x2-4x+3≥1
得：
（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2
，则切线方程是：y-
化简得：y=（x12-4x1+3）x
而过B（x2，y2）的切线方程是y=（x22-4x2+3）x
由于两切线是同一直线，
则有：x12-4x1+3=x22-4x2+3，得x1+x2=4，
又由
即-
-
即（4-x2）×4+x22-12=0×4+x22-12=0，x22-4x2+4=0
得x2=2，但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾．
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．
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