基本不等式及其应用
共6247题

· 基本不等式及其应用

基本不等式及其应用
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题型：填空题

填空题

已知为圆O：x2+y2=25内一点，过P作圆O的两条相互垂直的弦，M、N分别为这两条弦的中点，则四边形OMPN面积的最大值为______．

正确答案

解析

解：∵圆O：x2+y2=25，∴圆心O坐标（0，0），半径r=5，

设圆心O到两条相互垂直的弦的距离分别为d1、d2，

∵

∴d12+d22=OP2=16

∵M、N分别为这两条弦的中点，

∴四边形OMPN是矩形

∴四边形OMPN面积为d1d2≤（d12+d22）=8，当且仅当d1=d2时，四边形OMPN面积的最大值为8

故答案为：8．

题型：单选题

单选题

已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（　　）

正确答案

解析

解：由题意可得直线AB的方程为，

∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）

∴1=≥2，∴xy≤3，

当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，

故选：C．

题型：简答题

简答题

上海迪士尼乐园有一块长方形地ABCD，若要在此地块上拟建一个Rt△MNP的主题乐园，已知AB=2km，AD=km，点M是AB的中点，点P在线段AD上，点N在线段BC上，记∠NMB=α．

（1）当α为何值时，Rt△MNP的面积S最大？并求出其最大值；

（2）当α为何值时，Rt△MNP的周长l最大？并求出其最大值．

正确答案

解：（1）设AP=y，BN=x，

由题意可得，tanα•tan∠PMA=•=xy=1，

由y=可得≤x≤，

即≤α≤，

在直角三角形MNP中，MN==，

MP==，

则S=••=，

由≤2α≤，sin2α∈[，1]．

即有当α=或时，S取得最大值；

（2）由（1）可得MN=，MP=，

NP==，

即有l=++（≤α≤），

=，

令sinα+cosα=t，即t=sin（α+），

由≤α≤，可得α+∈[，]，

可得sin（α+）∈[，1]，

即为t∈[，]，

又t2=1+2sinαcosα，可得sinαcosα=，

则l==，

即有当t=，即α=或时，l取得最大值，且为2（+1）．

解析

解：（1）设AP=y，BN=x，

由题意可得，tanα•tan∠PMA=•=xy=1，

由y=可得≤x≤，

即≤α≤，

在直角三角形MNP中，MN==，

MP==，

则S=••=，

由≤2α≤，sin2α∈[，1]．

即有当α=或时，S取得最大值；

（2）由（1）可得MN=，MP=，

NP==，

即有l=++（≤α≤），

=，

令sinα+cosα=t，即t=sin（α+），

由≤α≤，可得α+∈[，]，

可得sin（α+）∈[，1]，

即为t∈[，]，

又t2=1+2sinαcosα，可得sinαcosα=，

则l==，

即有当t=，即α=或时，l取得最大值，且为2（+1）．

题型：填空题

填空题

已知正数m、n满足=1，则m+n的最小值为 ______．

正确答案

解析

解：∵=1，

∴m+n=（m+n）•（）=2++≥2+2=4（当且仅当m=n时等号成立）

故答案为：4

题型：简答题

简答题

如图所示为某风景区设计建造的一个休闲广场，广场的中间造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成对称的十字形区域，十字形区域面积为2000m2，计划在正方方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为每平方4100元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺石材地坪，价格为每平方110元，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，价格为每平方80元．设AD长为xm，DQ长为ym．

（I）试找出x与y满足的等量关系式；

（Ⅱ）若该广场的占地面积不超过2800m2，求x的取值范围；

（Ⅲ）求该广场的总造价的最小值及此时AD的长．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知，十字形区域面积为矩形DAMQ面积的四倍与正方形MNPQ面积之和，

得出x与y满足的等量关系式为：4xy+x2=2000

（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=，

由y＞0，得0＜x＜20

广场的占地面积S=2000+2y2≤2800

则y≤20，即y=≤20

得x≥20，

综上20≤x＜20

（Ⅲ）设广场的总造价为P

则P=4100x2+110•4xy+80•2y2=4100x2+110•（2000-x2）+160（）2=4000x2++180000

≥980000

取等号的条件是x=10．

解析

解：（Ⅰ）由已知，十字形区域面积为矩形DAMQ面积的四倍与正方形MNPQ面积之和，

得出x与y满足的等量关系式为：4xy+x2=2000

（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=，

由y＞0，得0＜x＜20

广场的占地面积S=2000+2y2≤2800

则y≤20，即y=≤20

得x≥20，

综上20≤x＜20

（Ⅲ）设广场的总造价为P

则P=4100x2+110•4xy+80•2y2=4100x2+110•（2000-x2）+160（）2=4000x2++180000

≥980000

取等号的条件是x=10．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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