导数及其应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ;

正确答案

（1,2）

试题分析：因为，设，则A点坐标为（1,2）.

1

题型：填空题

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填空题

若实数a，b，c，d满足︱b+a2-3lna︱+（c-d+2）2=0,则（a-c）2+（b-d）2的最小值为 .

正确答案

8

∵实数a、b、c、d满足：（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，∴b+a2-3lna=0，c-d+2=0，设b=y，a=x，则y=3lnx-x2，设c=x，d=y，则y=x+2，

∴（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值.对曲线y=3lnx-x2求导：y'（x）=，与y=x+2平行的切线斜率k=1=，解得x=1或x=-（舍）

把x=1代入y=3lnx-x2，得y=－1，即切点为（1，-1）切点到直线y=x+2的距离：

∴（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8．

1

题型：填空题

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填空题

若函数在处有极值，则函数的图象在处的切线的斜率为。

正确答案

-5

试题分析：因为函数在处有极值，，，，

函数的图像在处的切线的斜率为.取得极值的条件.

1

题型：填空题

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填空题

已知函数，则函数在点处切线方程为 .

正确答案

试题分析：∵，∴，，

∴，即.

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）当时，记函数的最小值为，求证：．

正确答案

（1）或；（2）函数在上单调递减，在上单调递增.（3）见解析.

第一问中因为曲线在点处的切线与直线垂直，则说明了函数在x=1处的导数值为-2，利用导数的运算可参数a的值。即由，所以，

解得或.

第二问中因为，

则单调性的判定就取决于导数的正负的解集。那么因为二次项系数的正负不定，所以分类两大类讨论即可。

第三问中，

由（Ⅱ）知，当时，函数的最小值为，

且

构造函数借助于导数求解最值得到不等式的证明。

解：（I）的定义域为.

.

根据题意，有，所以，

解得或. ……3分

（II）.

（1）当时，因为，

由得，解得；

由得，解得.

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，因为，

由得，解得；

由得，解得.

所以函数在上单调递减，在上单调递增. ……9分

（III）由（Ⅱ）知，当时，函数的最小值为，

且.

，

令，得.

当变化时，，的变化情况如下表：

是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值点.

所以

.

所以，当时，成立. ……14分

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

已知函数.

(I)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值。

正确答案

略

1

题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线方程为____ __.

正确答案

．

试题分析：由已知得，由导数的几何意义得，曲线在点处的切线方程为．

1

题型：简答题

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简答题

设函数，若函数在点处的切线为，数列定义：。

（1）求实数的值；

（2）若将数列的前项的和与积分别记为。证明：对任意正整数，为定值；证明：对任意正整数，都有。

正确答案

（1）故

略

1

题型：简答题

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简答题

（本题满分12分）

从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.

问：（1）求长方体的容积V关于x的函数表达式；（2）x取何值时，长方体的容积V有最大值？

正确答案

（1）长方体的容积，由，得，-----4分

（2）由均值不等式知，

当，即时等号成立。 --------------------6分

（1）当，即，；--------------------8分

（2）当，即时，，则在上单调递减，

，在单调递增，--------------------11分

若，则当时，；若，则当时，。--12分

略

1

题型：简答题

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简答题

．

正确答案

略

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知函数，.

（1）若函数在时取得极值，求的单调递减区间；

（2）证明：对任意的x∈R，都有||≤| x |；

（3）若a＝2，∈[，]），，求证：…+＜（n∈N*）.

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

以100的速度向一气球中注入气体，如果气体的压强不变，气球的半径会逐渐增大，当半径增大到10时，气球半径增加的瞬时速度为___________.

正确答案

略

1

题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分)

建造一个容积为16立方米，深为4米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价

为每平方米100元，池底的造价为每平方米200元，问怎样设计才能使

该蓄水池的总造价最低,最低造价为多少?

正确答案

池底为边长为2米的正方形时,总造价最低为4000元。

解：设池底一边为米,则另一边为米,总造价为元

,当即时,元.

答:池底为边长为2米的正方形时,总造价最低为4000元.

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题型：简答题

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简答题

设函数其中为常数.

（Ⅰ）若函数有极值点，求的取值范围及的极值点；

（Ⅱ）证明：对任意不小于3的正整数，不等式都成立.

正确答案

略

1

题型：简答题

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简答题

（12 分）

已知函数.

①当时，求的最小值；

②若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；

③当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

正确答案

解：①

……2分

当时，，当时，

∴在上单调减，在上单调增

∴ ……4分

② ……5分

若在上单调增，则在上恒成立

恒成立

令，，则，

∴ ……7分

若在上单调减，则在上恒成立

综上，的取值范围是： ……9分

③恒成立

……10分

当时，不等式显然成立

当时，

在时恒成立 ……11分

令，即求的最小值

设，，，

且A、B两点在的图象上，又∵，，故

∴，故

即实数的取值范围为

略

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