热门试卷

（I）当

（II）故函数

（III）证明见解析。

（I）函数

 …………1分

 …………2分

当

列表如下：

   综上所述，当；

当 …………5分

（II）若函数

当，

当，故不成立。…………7分

当由（I）知，且是极大值，同时也是最大值。

从而

故函数 …………10分

（III）由（II）知，当

（1）证明：假设存在x0′，x0 ∈（a，b），且在x0′≠x0 ，使得=f′(x0)

∴=f′(x0′)，∵f′(x0)=f′(x0′)

∴f′（x）=-1=-，记g（x）=f′（x）=-，则g′（x）=＞0，f′（x）是[a，b]上的单调递增函数，

∴所以x0′=x0 ，与x0′≠x0 矛盾，所以x0是唯一的．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）C（x3，y3）且x1＜x2＜x 3

∵f′(x)=＜0，∴f（x）是R上的单调减函数．∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3）．

∵=(x1-x2，f(x1)-f(x1))，=(x3-x2，f(x3)-f(x2))，

∴•=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))，

∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴•＜0

∴cosB＜0，∠B为钝角，∴△ABC为钝角三角形．

（1）；（2）在处取得极大值.

试题分析：（1）求出函数的导数，将题中的条件“曲线在点处的切线垂直于轴”转化得到，从而求出参数的值；（2）在（1）的基础上求出函数的解析式，利用导数求出函数的极值即可.

试题解析：（1），       ，

由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即，

；

（2）由（1）知，，，

令，故在上为增函数；

令，故在上为减函数；

故在处取得极大值.

（Ⅰ），

当时，的极大值为

（Ⅱ）在函数上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.理由略

（Ⅰ）的定义域为，

，，.          ……………2分

代入，得.

当时，，由，得，

又，，即在上单调递增；

当时，，由，得，……………4分

又，，即在上单调递减.

在上单调递增，在上单调递减.                  

所以，当时，的极大值为  ………………6分

（Ⅱ）在函数的图象上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.

假设存在两点，，不妨设，则

，，

，

在函数图象处的切线斜率

，

由

化简得：，.

令，则，上式化为：，即，

若令，

，

由，，在在上单调递增，.

这表明在内不存在，使得=2.

综上所述，在函数上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.…………13分

（I）当x=40时，快艇从甲地到乙地行驶了=3（小时），

耗油量：(×403-×40+3)×3=10（升）．

答：当快艇以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油10升．

（II）当速度为x千米/小时时，快艇从甲地到乙地行驶了小时，

设耗油量为h（x）升，依题意得h(x)=(x3-x+3)=x2+-(0＜x≤120)，h′(x)=-=(0＜x≤120)．

令h'（x）=0，得x=60，

当x∈（0，60）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；

当x∈（60，120]时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴当x=60时，(h(x))min=≈8.7．

答：当快艇以60千米/小时的速度行驶时，耗油最少，最少约为8.7升．

（Ⅰ）切线方程为；

（Ⅱ）单调减区间为，单调增区间为；

（Ⅲ）当时，没有零点.

试题分析：（Ⅰ）应用导数的几何意义，在切点处的导函数值，等于在该点的切线的斜率，求得斜率，                          利用直线方程的点斜式，求得曲线方程.

（Ⅱ）应用导数研究函数的单调性，遵循“求导数，求驻点，讨论各区间导数值的正负”.利用“表解法”形象直观，易以理解.解答此题，也可以通过解，分别确定函数的增区间、减区间.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数的单调区间及函数取得极值的情况.

注意讨论的不同取值情况、、，根据函数的单调性即极值情况，确定的取值范围.

试题解析：解：（Ⅰ）当时，，               1分

，                                          3分

所以切线方程为                                 5分

（Ⅱ）                                           6分

当时，在时，所以的单调增区间是； 8分

当时，函数与在定义域上的情况如下：

                                                                10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知

①当时，是函数的单调增区间，且有，，

所以，此时函数有零点，不符合题意；                              11分

②当时，函数在定义域上没零点；                 12分

③当时，是函数的极小值，也是函数的最小值，

所以，当，即时，函数没有零点    13分

综上所述，当时，没有零点.                       14分

（Ⅰ），为所求． （Ⅱ）或．

（Ⅲ）当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；

当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，

可知函数有两个极值点．

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。

（1）因为函数,为实数，.求解导数。判定单调性和最值，结合在区间上的最小值、最大值分别为、1得到参数、的值；

（2）在（Ⅰ）的条件下，先求解导数值，然后得到经过点且与曲线相切的直线的方程；

（Ⅲ）设函数，函数的极值点个数就是分析单调性来得到结论。

解：（Ⅰ）由，得，．

∵，，

∴ 当时，，递增；

当时，， 递减．

∴ 在区间上的最大值为，∴．……………………2分

又，，∴ ．

由题意得，即，得．

故，为所求．                 ………………………………4分

（Ⅱ）解：由（1）得，，点在曲线上．

⑴ 当切点为时，切线的斜率，

∴ 的方程为，即． ……………………5分

⑵当切点不是切点时，设切点为，

切线的斜率，

∴ 的方程为 ．

又点在上，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即，∴．

∴ 切线的方程为

故所求切线的方程为或．  ………………………………8分

（Ⅲ）解： ．

∴

二次函数的判别式为

，

令，得：

令，得    ………………………………10分

∵，，

∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；

当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，

可知函数有两个极值点．               ………………………………12分