热门试卷

（I）由已知点（an+1，Sn+1）在直线y=4x-2上．

∴Sn+1=4（an+1）-2．

即Sn+1=4an+2．（n=1，2，3，）

∴Sn+2=4an+1+2．

两式相减，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an．

即an+2=4an+1-4an．（3分）

an+2-2an+1=2（an+1-2an）．

∵bn=an+1-2an，（n=1，2，3，）

∴bn+1=2bn．

由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1．

解得a2=5，b1=a2-2a1=3．

∴数列{bn}是首项为3，公式为2的等比数列．（6分）

（II）由（I）知bn=3•2n-1，

∵f（x）=b1x+b2x2+…+bnxn，

∴f′（x）=b1+2b2x+…+nbnxn-1．

从而f′（1）=b1+2b2+…+nbn

=3+2•3•2+3•3•22+…+n•3•2n-1

=3（1+2•2+3•22+…+n•3•2n-1）（8分）

设Tn=1+2•2+3•22+…+n•2n-1，

2Tn=2+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n．

两式相减，得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n•2n

=-n•2n．

∴Tn=（n-1）•2n+1．

∴f′（1）=3（n-1）•2n+3．（11分）

由于f′（1）-（6n2-3n）=3[（n-1）•2n+1-2n2+n]

=3（n-1）[2n-（2n+1）]．

设g（n）=f′（1）-（6n2-3n）．

当n=1时，g（1）=0，∴f′（1）=6n2-3n；

当n=2时，g（2）=-3＜0，∴f′（1）＜6n2-3n；

当n≥3时，n-1＞0，又2n=（1+1）n=Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn≥2n+2＞2n+1，

∴（n-1）[2n-（2n+1）]＞0，即g（n）＞0，从而f′（1）＞6n2-3n．（14分）

=====-2

(1) f(a) =(),g(a)= (2) f(a)<g(a)

(1)连结AA′、BB′、CC′,

则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B

=(A′A+C′C)=(),

g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=。

∴f(a)<g(a).

试题分析：由函数 满足可得. .所以数列为等差数列.又.所以可得公差为1.所以通项为.所以.所以数列的前项和为.

（1）（2）当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增（3）见解析

（1）依题意得，则

由函数的图象在点处的切线平行于轴得：

∴-------------------------------------3分

（2）由（1）得----------4分

∵函数的定义域为

∴当时，在上恒成立，

由得，由得，

即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；----------------5分

当时，令得或，

若，即时，由得或，由得，

即函数在，上单调递增，在单调递减；---------6分

若，即时，由得或，由得，

即函数在，上单调递增，在单调递减；------------7分

若，即时，在上恒有，

即函数在上单调递增， -----------------8分

综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；

当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．

（3）证法一：由（2）知当时，函数在单调递增，，即，------------11分

令，则，-------------------------------------12分

即--------14分

证法二：构造数列，使其前项和，

则当时，，-------11分

显然也满足该式，

故只需证-------------------12分

令，即证，记，

则，

在上单调递增，故，

∴成立，

即． -14分

（1）

（2） 

本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．

根据题意先设小正方形边长为x，计算出铁盒体积的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而求得此函数的最大值即可。

（1）

（2） 

（1）所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增。

（2）{}

本试题主要是考查了导数在研究哈数中的运用，以及解决不等式的恒成立的综合运用。

（1）先求解定义域，然后分析导数的符号与单调性的关系，进而得到结论。

（2）根据由(1)知,函数在时单调递减，在时单调递增

所以函数在区间有最小值要使恒成立，可知得到c的不等式解得。

解：（1）由题意：  直线的斜率为；

由已知 所以    -----------------3分

所以由得心或；

所以当时，函数单调递减；

当时，函数单调递增。-----------------6分

（2）由(1)知,函数在时单调递减，在时单调递增；

所以函数在区间有最小值要使恒成立

只需恒成立，所以。

故的取值范围是{}    -----------------10分

当d=2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是.

设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P(x,0) (0≤x≤d)，再乘公交车去学校，所用的时间为t，则,求导，利用导数等于零，可得到极值最值.应用题一般考查的函数都是单峰函数.

设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P(x,0) (0≤x≤d)，再乘公交车去学校，所用的时间为t，则.…5分

令………8分

且当………9分   

当……10

当时，所用的时间最短，最短时间为：

.……11分

答：当d=2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是.

解：（1）因为在实数集R上单调递增，

恒成立

，                     5分

（2）

当 时，在R上无极值点，     7分

当 时，，令易得有两个极值点

            8分

因为在区间（2,3）中至少有一个极值点，

所以，         10 分

不等式  无解

解不等式  得             

所以，的取值范围是                           12分

略