热门试卷

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）正整数的最大值为．

试题分析：（Ⅰ）设为函数的极值点，只需对求导，让它的导函数在处的值为零，这样得到的关系式，从而证明；（Ⅱ）当时，恒成立，求正整数的最大值，这是恒成立问题，解这类为题，只需分离参数，把含有参数放到不等式一边，不含参数放到不等式的另一边，转化为求不含参数一边的最大值或最小值即可，本题分离参数得，不等式的右边就是，这样转化为求的最小值问题，由于带有对数函数，需用极值法求最值，只需对求导，得，令时，即，无法解方程，可令，判断单调性，利用根的存在性定理来确定根的范围，从而求解．

试题解析：（Ⅰ）因为，故, 为函数的极值点,, 即,于是,故 ；

（Ⅱ）恒成立,分离参数得 ，则时，恒成立，只需，，记，， 在上递增，又，在上存在唯一的实根， 且满足， 当时，即；当时，即,,故正整数的最大值为．

（I）设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P(x,0) (0≤x≤d)，再乘

公交车去学校，所用的时间为t，则.……3分

令……………………………………………………5分

且当…………………………………………………6分

当……………………………………………………7分

当时，所用的时间最短，最短时间为：

.………………………………9分

答：当d=2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是.

（II）由（I）的讨论可知，当d=上的减函数，所以当时，

即该学生直接乘船渡河到达公路上学校，所用的时间最短.……………………12分

最短的时间为………………………………………………14分

答：当时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是

略

解：（Ⅰ），

．

令，得（舍去）．

当时．；当时，，

故当时，为增函数；当时，为减函数．

为的极大值点，且．

（Ⅱ）方法一：原方程可化为，

即为，且

①当时，，则，即，

，此时，∵，

此时方程仅有一解．

②当时，，由，得，，

若，则，方程有两解；

若时，则，方程有一解；

若或，原方程无解．

方法二：原方程可化为，

即，

①当时，原方程有一解；

②当时，原方程有二解；

③当时，原方程有一解；

④当或时，原方程无解．

（Ⅲ）由已知得，

．

设数列的前n项和为，且（）

从而有，当时，．

又

．

即对任意时，有，又因为，所以．

则，故原不等式成立．

略

(I). (Ⅱ)这样的切线存在，且只有一条。

(Ⅲ)以，

=.

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，以及不等式的求解，以及最值的研究。

（1）因为当时，不等式等价于，进而得到解集

（2）假设存在这样的切线，设其中一个切点，

∴切线方程：将点T代入得到结论。

（3）对恒成立，所以，构造函数运用导数求解最值得到证明。

(I)当时，不等式等价于，解集为.      3分

(Ⅱ)假设存在这样的切线，设其中一个切点，

∴切线方程：，将点坐标代入得：

，即，       ①

法1：设，则．………………6分

，在区间，上是增函数，在区间上是减函数，

故．

又，注意到在其定义域上的单调性知仅在内有且仅有一根方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条． 8分.

法2：令()，考查，则，

从而在增，减，增. 故，

，而，故在上有唯一解.

从而有唯一解，即切线唯一.

法3：，；

当；

所以在单调递增。 又因为，所以方程

有必有一解，所以这样的切线存在，且只有一条。

(Ⅲ)对恒成立，所以，

令，可得在区间上单调递减，

故，.                      10分

得，. 令，，

注意到，即，

所以，

=.              14分

（2）

（3）

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用

（1）因为函数在点处的切线斜率为1,那么x=2的导数值为零可知参数a的值。

（2）由（1）知，，

故

(3)

则

然后对于参数p讨论得到单调性。

解：

（2）由（1）知，，

故

则，

①若，由于，所以不存在

使得

②若，此时，所以在上是增函数，

，只要即可，解得，即

略

略

解：⑴函数f(x)的定义域为．＝－1＝－。由<0及x>－1，得x>0．∴当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．

⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，

因此，当时，≤，即≤0∴．

令，则＝．

∴当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．

∴当时，≥，即≥0，∴．

综上可知，当时，有．

略

解：   (2分)

（Ⅰ）由题意，得     (6分)

所以，        …………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

     (9分)

在[－4，1]上的最大值为13，最小值为－11。              (15分)

略

解析：（Ⅰ）的定义域是…………1分

…………2分

由题知

令…………3分

当变化时，的变化情况如下表所示

        所以处取得极大值1，无极小值。…………6分

（Ⅱ）…………7分

由题知上恒成立，即在（-∞，1）上恒成立……8分

即实数的取值范围是…………12分

略

略