热门试卷

证明：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NP．

因为C1N=NB1，C1P=PA1，所以NP∥A1B1，NP=A1B1．   

在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1=AB．

故NP∥AB，且NP=AB．

因为M为AB的中点，所以AM=AB．

所以NP=AM，且NP∥AM．

所以四边形AMNP为平行四边形．

所以MN∥AP．                          

因为AP⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，

所以MN∥平面AA1C1C．             

（2）因为CA=CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB．      

因为CC1=CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1．

在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN⊥BC．

因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC=BC．CN⊂平面CC1B1B，

所以CN⊥平面ABC．                       

因为AB⊂平面ABC，所以CN⊥AB．          

因为CM⊂平面CMN，CN⊂平面CMN，CM∩CN=C，

所以AB⊥平面CMN．

解：（Ⅰ）分别作出两个正三棱锥的高PN、SM，连接AC交BD于O，连接OP、OS

∵△ADB与△BCD都是正三角形

∴四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，可得AC、DB互相垂直平分

∵△PBD中，PB=PD，O为BD中点

∴PO⊥BD，

同理，SO⊥BD，可得∠POS为二面角P-BD-S的平面角

∵ON=，OM=∴MN=

∵四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，

∴AC=AB=6⇒MN==2

∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥

∴两条高PN、SM平行且相等

可得四边形PSMN是矩形，所以PS=MN=2

∵两个正三棱锥的侧棱长都相等

∴等腰三角形OPS中，根据余弦定理得：cos∠POS=

可得OP=OS=3

∵Rt△POB中，

∴PB=

在△PDB中，PB2+PD2=36=BD2

∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD

同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P

∴PB⊥平面PAD

（Ⅱ）由（I）得PA=PB=，AN=，

∴Rt△PAN中，高PN==

因此，正三棱锥P-ABD的体积=××=

∴多面体SPABC的体积为V1=2×=

解：以D为原点，DA、DC、DA1所在的直线分别为x、y、z轴，

建立空间直角坐标系，（如下图示）

不妨取正方体AC1棱长为2，

则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

D1（0，0，2），E（2，2，1），F（2，1，0），G（1，2，0）．（4分）

（1），，

∴，可见D1F⊥EG．…（7分）

（2），∴，∴D1F⊥AE

∵EG∩AE=E，∴D1F⊥平面AEG．…（11分）

（3）由，，

∴．…（15分）

解：（1）证明：因为△PAB是等边三角形，

∠PAC=∠PBC=90°，

PC=PC

所以Rt△PBC≌Rt△PAC，

可得AC=BC．

如图，取AB中点D，连接

PD、CD，

则PD⊥AB，CD⊥AB，

所以AB⊥平面PDC，

所以AB⊥PC．

（2）作BE⊥PC，垂足为E，连接AE．

因为Rt△PBC≌Rt△PAC，

所以AE⊥PC，AE=BE．

由已知，平面PAC⊥平面PBC，

故∠AEB=90°．

因为Rt△AEB≌Rt△PEB，

所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．

设PB=PA=BA=a PE=x CE=4-x，BE=，x=，

BC2=16-a2，BC2=（）2+（4-）2，

解得a=2

△AEB的面积S==2．

因为PC⊥平面AEB，

所以三棱锥P-ABC的体积

V=×S×PC=．