热门试卷

解：（1）连结PQ、AQ．

∵△PCD为正三角形，∴PQ⊥CD．

∵底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，

∴AQ⊥CD．

∵AQ、PQ是平面PAQ内的相交直线，

∴CD⊥平面PAQ．…（4分）

∵PA⊂平面PAQ，∴PA⊥CD．

（2）由（1）可知PQ⊥CD，AQ⊥CD．

又由侧面PDC⊥底面ABCD，得PQ⊥AQ．

因此，分别以QA、QC、QP所在直线为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系Q-xyz．…（6分）

易知P（0，0，）、A（，0，0）、B（，2，0）、C（0，1，0）、D（0，-1，0）．…（7分）

由M（，1，），得=（，0，），

得⋅=+0-=0，可得PA⊥CM．…（10分）

∵CM、CD是平面CDM内的相交直线，

∴PA⊥平面CDM，

从而就是平面CDM的法向量．…（12分）

设AQ与平面所成的角为α，

则sinα=|cos＜，＞|=，可得α=45°

∴AQ与平面CDM所成的角为45°．…（14分）

（1）证明：连接AC，则AC⊥BD，

∵VA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，

∴VA⊥BD，

∵VA∩AC=A，

∴BD⊥平面VAC，

∴BD⊥VC；

（2）解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），E（1，2，0），V（0，0，4），C（2，2，0），

∴=（1，2，0），=（2，2，-4），

设异面直线AE与VC所成角为α，则cosα=||=，

∴sinα=．

解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴A1D⊥BC；

又∵BC⊥AC，且A1D∩AC=D，

∴BC⊥平面A1ACC1，

∴BC⊥AC1；①

又∵四边形A1ACC1为菱形，

∴A1C⊥AC1；②

由①②得，AC1⊥平面A1BC，

且A1B⊂平面A1BC，

∴AC1⊥A1B；

（Ⅱ）∵D是线段AC的中点，∴，

∴，即；

∴=-V三棱锥M-ABC

=3V三棱锥M-ABC-V三棱锥M-ABC=2V三棱锥M-ABC

=2××S△ABC•MD

又，

；

∴=2××2×=．