- 直线与平面垂直的判定及其性质
- 共458题
正确答案
解析
解：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC⊂⊙O所在的平面
∴PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A
∴BC⊥面PAC，故①正确
又∵AF⊂面PAC，∴AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C
∴AF⊥面PCB，故②正确
而PB⊂面PCB
∴AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A
∴PB⊥面AEF
而EF⊂面AEF
∴EF⊥PB，故③正确
∵AF⊥面PCB，假设AE⊥面PBC
∴AF∥AE，显然不成立，故④不正确
故选C
（1）求证：BC⊥面PAC；
（2）求证：PB⊥面AMN．
正确答案
证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC．
∴PA⊥BC，又AB为斜边，
∴BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
（2）∵BC⊥平面PAC，AN⊂平面PAC
∴BC⊥AN，又AN⊥PC，且BC∩PC=C，
∴AN⊥面PBC，又PB⊂平面PBC．∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，∴PB⊥平面AMN．
解析
证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC．
∴PA⊥BC，又AB为斜边，
∴BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
（2）∵BC⊥平面PAC，AN⊂平面PAC
∴BC⊥AN，又AN⊥PC，且BC∩PC=C，
∴AN⊥面PBC，又PB⊂平面PBC．∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，∴PB⊥平面AMN．
（1）求证：AC⊥BD1
（2）求异面直线AC与BC1所成角的大小．
正确答案
解：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥DD1，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，DD1∩BD=D，
∴AC⊥平面BDD1，
∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1；
（2）连结AD1、CD1，
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB
∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，
由此可得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．
∵△AD1C是等边三角形，
∴∠D1AC=60°，即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°．
解析
解：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥DD1，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，DD1∩BD=D，
∴AC⊥平面BDD1，
∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1；
（2）连结AD1、CD1，
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB
∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，
由此可得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．
∵△AD1C是等边三角形，
∴∠D1AC=60°，即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求证：VC⊥平面ABV．
正确答案
证明：（1）∵VO⊥平面ABC，∴VO⊥AB，连接VD，∵AD=BD，VA=VB，∴AB⊥VD，∴AB⊥平面VCD，∴AB⊥CD；
（2）∵AB=4，AD=BD=2，VA=VB=
∴VD2+VC2=CD2，∴VC⊥VD，
由（1）知VC⊥AB，由AB∩VD=D，
∴VC⊥平面ABV．
解析
证明：（1）∵VO⊥平面ABC，∴VO⊥AB，连接VD，∵AD=BD，VA=VB，∴AB⊥VD，∴AB⊥平面VCD，∴AB⊥CD；
（2）∵AB=4，AD=BD=2，VA=VB=
∴VD2+VC2=CD2，∴VC⊥VD，
由（1）知VC⊥AB，由AB∩VD=D，
∴VC⊥平面ABV．
正确答案
解析
解：△ABC是直角三角形，说明如下；
∵A∈α，C∈α，∴AC⊂α；
又∵PB⊥α，∴PB⊥AC；
又∵PC⊥AC，
PB∩PC=B，
∴AC⊥平面PBC；
又∵BC⊂平面PBC，
∴AC⊥BC；
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
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