- 不等式和绝对值不等式
- 共3272题
解不等式|
正确答案
解：原不等式
因为
又
所以，原不等式组的解集为
不等式|x+3|-|x-1|≤a2-5a的解集非空，则实数a的取值范围是______．
正确答案
令f（x）=|x+3|-|x-1|，
则当x＜-3时，f（x）=-x-3+x-1=-4；
当-3≤x≤1时，f（x）=2x+2∈[-4，4]；
当x＞1时，f（x）=x+3-x+1=4；
∴f（x）min=-4．
∵不等式|x+3|-|x-1|≤a2-5a的解集非空，
∴a2-5a≥f（x）min=-4，
∴a2-5a+4≥0．
解得：a≥4或a≤1．
∴实数a的取值范围是a≥4或a≤1．
故答案为：a≥4或a≤1．
已知函数f(x)=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|-c，若存在正常数m，使f(m)=0，则不等式f(x)＜f(m)的解集是（ ）。
正确答案
（-m，m）
如果关于x的不等式|x-3|+|x-a|＜4的解集不是空集，则参数a的取值范围是______．
正确答案
∵|x-3|+|x-a|≥|a-3|，又不等式|x-3|+|x-a|＜4的解集不是空集，
∴|a-3|＜4，解得-1＜a＜7，
则参数a的取值范围是-1＜a＜7．
故答案为：-1＜a＜7
不等式|x-2|+|x|≥a-
正确答案
不等式|x-2|+|x|≥a-
故有 2 ≥a-
解得 0＜a≤3 或 a≤-1，故实数a的取值范围是 （-∞，-1]∪（0，3]，
故答案为 （-∞，-1]∪（0，3]．
若不等式
正确答案
选做题
设函数f（x）=|x-a|+3x，其中a＞0。
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求的值。
正确答案
解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x-1|≥2。
由此可得 x≥3或x≤-1。
故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}。
( Ⅱ) 由f（x）≤0 得 |x-a|+3x≤0
此不等式化为不等式组
即 
因为a＞0，所以不等式组的解集为
由题设可得
若不等式|x+1|+|x-2|≥a恒成立，则a的取值范围是______．
正确答案
因为|x+1|+|x-2|的几何意义是数轴上的点到-1，与到2的距离之和，显然最小值为3，
所以a的取值范围是：a≤3．
故答案为：a≤3．
解不等式2|x-1|+|x-2|＞4。
正确答案
解：原不等式等价于
（1）当x＞2时，2x-3＞2，即
（2）当1≤x≤2时，无解；
（3）当x＜1时，3-2x＞2，即
综上：不等式的解集为
已知关于x的不等式|x-2|-|x-5|-k＞0的解集为R，则实数k的范围是 ______．
正确答案
根据绝对值不等式可以得到：
||x-2|-|x-5||≤|（x-2）-（x-5）|=3，
即：-3≤|x-2|-|x-5|≤3，
所以要满足|x-2|-|x-5|＞k解集是R，只需要k＜-3，
故答案为k＜-3．
解不等式|x2-3x-4|＞x+1。
正确答案
解：原不等式可化为|（x-4）（x+1）|＞x+1
即x＜-1或-1＜x＜3或x＞5；
∴原不等式的解集为{x|x＜-1或-1＜x＜3或x＞5}。
定义：关于x的不等式|x-A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b-2的a+b邻域为区间（-2，2），则a2+b2的最小值是______．
正确答案
由题意得：|x-（a+b-2）|＜a+b的解集为区间（-2，2），
∵|x-（a+b-2）|＜a+b⇔（-2，2（a+b）-2），
∴2（a+b）-2=2，⇒a+b=2，
∴a2+b2≥
则a2+b2的最小值是2．
故答案为：2．
已知函数f（x）=|x-2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）成立，则若实数x的取值范围是（ ）
正确答案
[ 0, 4 ]
已知函数f（x）=|x﹣2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|?f（x）成立，则实数x的取值范围是( )
正确答案
[0，4]
若关于x的不等式x+|x﹣1|≤a有解，则实数a的取值范围是（ ）。
正确答案
[1，+∞）
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