不等式和绝对值不等式_章节学习

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题型：简答题

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简答题

设a、b、c均为实数，求证：++≥++．

正确答案

见解析

∵a、b、c均为实数．

∴（＋）≥≥，当a=b时等号成立；

（＋）≥≥，当b=c时等号成立；

（＋）≥≥．

三个不等式相加即得++≥++，

当且仅当a=b=c时等号成立.

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题型：简答题

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简答题

已知都是实数，求证

正确答案

见解析

不妨设，则

在中，由三角形三边之间的关系知：

当且仅当O在AB上时，等号成立。

因此，

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题型：简答题

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简答题

12分）a,b,c为不全相等的正数，求证

aabc(a+b+c)

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

已知a＞0，n为正整数，

（Ⅰ）设y=（x-a）n，证明y′=n（x-a）n-1；

（Ⅱ）设fn（x）=xn-（x-a）n，对任意n≥a，证明fn+1′（n+1）＞（n+1）fn′（n）。

正确答案

证明：（Ⅰ）因为，

所以；

（Ⅱ）对函数，求导数：，

所以，

当x≥a＞0时，，

∴当x≥a时，是关于x的增函数，

因此，当n≥a时，，

∴

，

即对任意。

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=（t-x），其中t为常数，且t>0。

（1）求函数ft（x）在（0，+∞）上的最大值；

（2）数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），且设bn=1-，证明：对任意的x＞0，bn≥n=1，2，3，…；

（3）证明：b1+b2+…+bn＞。

正确答案

解：（1）由于

则

∵x>0

∴当x＜t时，f′t（x）＞

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题型：简答题

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简答题

已知二次函数f（x）=ax2+x，（a∈R）。

（1）当0＜a＜时，f（sinx）（x∈R）的最大值为，求f（x）的最小值；

（2）对于任意的x∈R，总有|f（sinxcosx）|≤1。试求a的取值范围；

（3）若当n∈N*时，记，令a=1，求证：成立。

正确答案

解：（1）由知

故当时，f（x）取得最大值

即

∴

所以f（x）的最小值为-1。

（2）∵对于任意的x∈R，总有||≤1

令

则命题转化为，不等式恒成立

当时，使成立

当时，有

对于任意的恒成立

∵

∴或

则

故要使①式成立，则有

又

故要使②式成立，则有

由题意

综上。

（3）由题意

令

则

∴在时单调递增

∴

又

∴

综上，原结论成立。

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题型：简答题

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简答题

函数，数列和满足：，，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为.

（1）求数列{}的通项公式；

（2）若数列的项中仅最小,求的取值范围；

（3）若函数，令函数数列满足:且，证明:

正确答案

解:(1)∵ ，得

是以2为首项，1为公差的等差数列，

故

(2) ∵，

，

在点处的切线方程为

令得

∴仅当时取得最小值，

∴的取值范围为

(3)

所以

又因

则

显然

∵

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R），

(1)讨论函数f（x）的单调性；

(2)若函数f（x）有两个零点，求实数的取值范围；

(3)若函数f（x）的最小值为h（a），m，n为h（a）定义域A中的任意两个值，求证：。

正确答案

解：(1)，

令，

当a≥0时，，

∴函数上单调递增；

当a＜0时，若；

若；

∴函数上单调递减，在区间上单调递增；

综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调增区间为；

当a＜0时，函数f（x）的单调减区间为，单调增区间为；

(2)由(1)知，当a≥0时，函数f（x）至多有一个零点，不符合题意，

∴a＜0，

又由(1)知，若a＜0，

则函数f（x）在处取得极小值，

∴函数f（x）有两个零点，解得a＜-2e，

∴a的取值范围是；

(3)由(1)(2)知，当a≥0时，函数f（x）无最小值；

当a＜0时，，

对于且m≠n，有

，

不妨设m＜n＜0，则，

令，则

，

设，

则，

当且仅当t=1时取“=”，

所以函数u（t）在上单调递增，

故t＞1时，，

又n＜0，

∴，

所以。

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x2-alnx在(1，2]是增函数，g（x）=x-a在（0，1）为减函数，

（1）求a的值；

（2）设函数φ（x）=2bx-是区间(0，1]上的增函数，且对于(0，1]内的任意两个变量s、t，f（s）≥φ（t）恒成立，求实数b的取值范围；

（3）设h（x）=f′（x）-g（x）-，求证：[h（x）]n+2≥h（xn）+2n（n∈N*）。

正确答案

解：（1），

依题意，

∴，

又∵，

依题意，；

∴a=2；

（2），

当，

∴f（x）为减函数，其最小值为1，

令，则在（0，1）上，，

∵函数在为增函数，恒成立，

∵，

又在的最大值为2b-1，

依题意，为所求范围。

（3）

，

当n=1时，等式成立；

当n≥2时，

，

由均值不等式得，

∴。

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题型：简答题

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简答题

数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0，xn+1=，n∈N，

（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥；

（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn≥xn+1；

（Ⅲ）若数列{xn}的极限存在，且大于零，求的值。

正确答案

（Ⅰ）证明：由，可归纳证明，

从而有，

所以，当n≥2时，成立；

（Ⅱ）证明：当n≥2时，因为，

所以，

故当n≥2时，成立；

（Ⅲ）解：记且A＞0，

由得，

即，

由A＞0，解得，

故。

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题型：简答题

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简答题

若实数x、y、m满足|x-m|<|y-m|，则称x比y接近m。

（I）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；

（Ⅱ）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab；

（Ⅲ）已知函数f（x）的定义域D={x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}。任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值。写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）。

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得|x2-1|<3，即-32-1<3

解得-2

∴x的取值范围是（-2，2）；

（Ⅱ）证明：当a、b是不相等的正数时，a3+b3-（a2b+ab2）=（a-b）2（a+b）>0

又

则

于是

接近；

（Ⅲ）由|1-sinx|< |1+sinx|得1-sinx<1+sinx，即sinx>0，则2kπ

同理，若|1+sinx|< |1-sinx|，则2kπ+π

于是，函数f（x）的解析式是

函数f（x）的大致图象如下：

函数f（x）的最小正周期T=π

函数f（x）是偶函数

当时，函数f（x）取得最小值0

函数f（x）在上单调递减；

在上单调递增。

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题型：简答题

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简答题

若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．

（1）若2x﹣1比3接近0，求x的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近．

正确答案

（1）解：若2x﹣1比3接近0，则有|2x﹣1﹣0|＜|3﹣0|，

∴|2x﹣1|＜3，即﹣3＜2x﹣1＜3，

解得﹣1＜x＜2，故x的取值范围为（﹣1，2）．

（2）证明：对任意两个不相等的正数a、b，，

有a2b+ab2 ＞，，即．

又因为|a2b+ab2 ﹣|﹣||

=ab（a+b）﹣﹣（a3+b3）+

=ab（a+b）﹣（a+b）（a2+b2﹣ab）

=﹣（a+b）（a﹣b）2＜0，

所以，|a2b+ab2 ﹣|＜||，

即a2b+ab2比a3+b3接近．

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题型：简答题

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简答题

数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0，，n∈N。

（1）证明：对n≥2，总有；

（2）证明：对n≥2，总有xn≥xn+1。

正确答案

解：（1）由及，可归纳证明

从而有，

所以，当n≥2时，成立。

（2）当n≥2时，因为，

所以，

故当n≥2时，成立。

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题型：简答题

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简答题

（选做题）证明：

（1）已知x，y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2，

（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：．

正确答案

证明：（1）∵（x3+y3 ）﹣（x2y+xy2）=x2 （x﹣y）+y2（y﹣x）=（x﹣y）（x2﹣y2 ）

=（x+y）（x﹣y）2．

∵x，y都是正实数，∴（x﹣y）2≥0，（x+y）＞0，

∴（x+y）（x﹣y）2≥0，

∴x3+y3≥x2y+xy2．

（2）∵a，b，c∈R+，且a+b+c=1，

∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3（a2+b2+c2），

∴a2+b2+c2≥，当且仅当a=b=c 时，等号成立．

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题型：简答题

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简答题

已知数列{ak}满足：且（k=1，2，…，n﹣1）其中n是一个给定的正整数．

（1）证明：数列{ak}是一个单调数列；

（2）证明：对一切1＜m＜n，m∈N有：．

正确答案

证明：（1）∵ （k=1，2，…，n﹣1），

∴ak≠0．

∵，∴ak+1﹣ak=﹣ak=＞0，

故数列{ak}是一个递增数列，即数列{ak}是一个单调数列．

（2）由递推公式，得=，

∴，

令k=1，2，3，…，n﹣1，

有＜，＜，…，

∴，

∴an＜1，

从而有：，

∴，

令k=1，2，3，…，m﹣1，

有，，…，

∴，

将代入整理得

∴对一切1＜m＜n，m∈N有：．

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