- 空间几何体
- 共15406题
如图，在下列几何体中是棱柱的有（ ）
正确答案
解析
解：由棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻四边形的公共边互相平行．
可知：图（1）为三棱柱；图（3）为六棱柱；图（4）为三棱柱．
∴题中所给的几何体是棱柱的有3个．
故选：C．
（1）求证：S-ABC为正三棱锥；
（2）已知SA=a，求S-ABC的全面积．
正确答案
（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；
顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可．
作三棱锥S-ABC的高SO，O为垂足，连接AO并延长交BC于D．
因为SA⊥BC，所以AD⊥BC．又侧棱与底面所成的角都相等，
从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC．又∠BAC=60°，
故△ABC为正三角形，且O为其中心．所以S-ABC为正三棱锥．
（2）解：在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，
所以SO=
BC=2BD=2ADcot60°=
在Rt△SOD中，SD2=SO2+OD2=（
于是，（SS-ABC）全=
解析
（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；
顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可．
作三棱锥S-ABC的高SO，O为垂足，连接AO并延长交BC于D．
因为SA⊥BC，所以AD⊥BC．又侧棱与底面所成的角都相等，
从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC．又∠BAC=60°，
故△ABC为正三角形，且O为其中心．所以S-ABC为正三棱锥．
（2）解：在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，
所以SO=
BC=2BD=2ADcot60°=
在Rt△SOD中，SD2=SO2+OD2=（
于是，（SS-ABC）全=
在棱柱中（ ）
正确答案
解析
解：对于A，如果是长方体，可能不止有两个面平行，故错；
对于B，如果是长方体，不可能所有的棱都平行，只是所有的侧棱都平行，故错；
对于C，如果是底面是梯形的棱柱，不是所有的面都是平行四边形，故错；
对于D，据棱柱的定义知其正确，故对；
故选D．
A[
B[
C[
D[
正确答案
解析
解：如图1所示，当平面PBC⊥平面α时正三棱锥P-ABC在α上的正投影图的面积最小，
此时PP′=6，P′D=
所以cos∠PDP′=
当面PBC⊥面α，cos∠ADA′=
所以A′D=3
所以S△A′BC=
如图2所示，当平面ABC在平面α内时正三棱锥P-ABC在α上的正投影图的面积最大，
此时投影图的面积=S△ABC+S△P′BC，
因为S△ABC=
∴投影图的面积=S△ABC+S△P′BC=9
所以在旋转过程中正三棱锥P-ABC在α上的正投影图的面积取值范围是[
故选：A．
（1）若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为______；
（2）关于该四棱锥的下列结论中：
①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；
②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；
③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面．
所有正确结论的序号是______．
正确答案
①②③
解析
解：（1）由四棱锥的俯视图可知，该四棱锥底面为ABCD为正方形，PO垂直于BC于点O，其中O为BC的中点，
若该四棱锥的左视图为直角三角形，
则△BPC为直角三角形，且为等腰直角三角形，
∵B0=1，
∴PO=BO=1，
则它的体积为
（2）由四棱锥的直观图可知，PO⊥面ABCD，
则PO⊥AB，PO⊥CD，
又AB⊥BC，
CD⊥BC，
∴AB⊥面PBC，CD⊥面PBC，
∴面ABC⊥面PBC，
面PCD⊥面PBC，∴①正确．
②由①知，侧面ABP和PCD为直角三角形，
当BP⊥PC时，△PBC为直角三角形，∴侧面可能存在三个直角三角形，∴②正确．
③若四个侧面互相垂直，则由四个侧面围成的几何体为柱体，不可能是锥体，∴③正确．
故答案为：
正确答案
解析
∴AP⊥PE，AP⊥PF，PE⊥PF，
∴AP⊥面PEF，
VA-PEF=
∵S△AEF=
∴根据VA-PEF=VP-AEF，
即：
d=
故答案为：
下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：如图所示：
A．如图（1）符合条件但却不是棱柱；
B．图中PA⊥底面ABC，
AB是圆O的直径，点C是圆上的一点，则四个面都是直角三角形，符合题意；
C．其侧棱不相较于一点，故不是棱台；
D．以直角三角形的斜边AB为轴旋转得到的是两个对底的圆锥．
综上可知：只有B正确．
故选B．
（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．
正确答案
（I）证明：∵E，F分别为PB，PC中点，
∴BC∥EF，
又EF⊆平面EFA，BC⊊平面EFA，
∴BC∥平面EFA
又BC⊆平面ABC，平面EFA∩平面ABC=l，
∴l∥BC．
∵AC⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵PA=PC=AC=2，
∴AE⊥PC，
∵AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，
∴BC⊥平面PAC，
∵l∥BC
∴直线l⊥平面PAC，
（II）如图建立坐标系得出：C（0，0，0），A（2，0，0），
E（
∴
∴cos＜
设直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角分别为α，β，α+β=
∴sinα=|
即1=|y|，求解y=±1，y=0，A（2，0，0），
存在Q（2，1，0）或Q（2，-1，0），
|AQ|=1．
解析
（I）证明：∵E，F分别为PB，PC中点，
∴BC∥EF，
又EF⊆平面EFA，BC⊊平面EFA，
∴BC∥平面EFA
又BC⊆平面ABC，平面EFA∩平面ABC=l，
∴l∥BC．
∵AC⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵PA=PC=AC=2，
∴AE⊥PC，
∵AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，
∴BC⊥平面PAC，
∵l∥BC
∴直线l⊥平面PAC，
（II）如图建立坐标系得出：C（0，0，0），A（2，0，0），
E（
∴
∴cos＜
设直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角分别为α，β，α+β=
∴sinα=|
即1=|y|，求解y=±1，y=0，A（2，0，0），
存在Q（2，1，0）或Q（2，-1，0），
|AQ|=1．
A
B
C
D与EF位置有关，总面积不确定
正确答案
解析
解：由题意设
∵
∴
∵S△ABC=4
∴AB=4，∴EF=2k．
∴△AEF在底面ABC上的射影的面积：
∴四边形EFCB在底面ABC上的射影的面积：
∴△AEF和四边形EFCB在底面ABC上的射影的面积之和为：
4
故面积与k有关，
即与EF的位置有关，
故选：D．
A
B
C
D
正确答案
解析
△BEF的周长的最小值为BB1，
由于题 设知∠BPB1=90°，正三棱锥P-ABC的侧棱长为a
所以BB1=
故选A．
四面体的4个顶点和6条棱的6个中点可以确定______条直线．
正确答案
33
解析
当以同一条棱上的3个点中任意取两个点时，共有6×3种方法，它们表示的直线是一条直线，
这与上面45种取法中有6×3种是重复计算的，故必须排除掉，最后再补上6条棱所在的直线．
从而得出四面体的4个顶点和6条棱的6个中点可以确定 
故答案为：33．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）截面EFGH的面积．
正确答案
∵PO为正三棱锥P-ABC的高
∴0为底面的中心
∴CO⊥AB
∴CO⊥平面PCO
∴PC⊥AB
（2）如图所示：OK=
又∵∠PKO=α
∴PK=
侧棱为：PA=
∴
又∵四边形EFGH为矩形
∴
解析
∵PO为正三棱锥P-ABC的高
∴0为底面的中心
∴CO⊥AB
∴CO⊥平面PCO
∴PC⊥AB
（2）如图所示：OK=
又∵∠PKO=α
∴PK=
侧棱为：PA=
∴
又∵四边形EFGH为矩形
∴
有一个各条棱长均为a的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长是______．
正确答案
解析
分析易知当以PP′为正方形的对角线时，
所需正方形的包装纸的面积最小，此时边长最小．
设此时的正方形边长为x则：（PP′）2=2x2，
又因为 
∴
解得：
故答案为：
已知圆锥的高和底面半径均为1，若过圆锥两条母线的截面为正三角形，求底面圆心到该截面的距离．
正确答案
解：画出图形，如图所示；
∴OA=OB=OC=1，
AB=AC=BC=
∴三棱锥O-ABC的体积为
VO-ABC=VA-OBC，
即
∴
解得h=
∴底面圆心到该截面的距离是
解析
解：画出图形，如图所示；
∴OA=OB=OC=1，
AB=AC=BC=
∴三棱锥O-ABC的体积为
VO-ABC=VA-OBC，
即
∴
解得h=
∴底面圆心到该截面的距离是
如果三棱锥的三条斜高相等，则三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的______．
正确答案
内心
解析
解：如图所示：
三棱锥V-ABC中，三条斜高相等，即VP=VM=VN，
则三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影O满足
OP=OM=ON，且OP⊥AB，OM⊥BC，ON⊥AC，
∴点O是底面三角形ABC的内心．
故答案为：内心．
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