- 空间几何体
- 共15406题
用一个平面截一个几何体，无论如何截，所得截面都是圆面，则这个几何体一定是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故A不符合题意；
对于B，圆柱的轴截面是矩形，与上下底不平行的平面截得的截面是椭圆，可得B不符合题意；
对于C，圆台轴截面是等腰梯形，故C不符合题意；
对于D，用任意的平面去截球，得到的截面均为圆，可得D符合题意．
故选：D
一个正方体内接于高为40cm，底面半径为30cm的圆锥中，求正方体的棱长．
正确答案
则OC=
解得x=
∴正方体的棱长为
解析
则OC=
解得x=
∴正方体的棱长为
A
B
C
D
正确答案
解析
令圆锥的体积为V，OC=R，DA=r，母线与轴夹角为∠OBC=∠β
将OBA看作是底面积相等的两个锥形，
V=
由①、②得
R2=2•r2（R=r
OA=R•COSβ，r=R•COS2β，COS2β=
β=
故选D．
求证：正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．
正确答案
证明：因为ABCD是正四面体，
各个面都是等边三角形，
取BC的中点E
∴AE⊥BC，DE⊥BC
∴BC⊥平面AED，
而AD⊂平面AED，
∴BC⊥AD，
同理可证AB⊥DC，AC⊥DB．
解析
证明：因为ABCD是正四面体，
各个面都是等边三角形，
取BC的中点E
∴AE⊥BC，DE⊥BC
∴BC⊥平面AED，
而AD⊂平面AED，
∴BC⊥AD，
同理可证AB⊥DC，AC⊥DB．
用金属薄板制作一个直径为0.2米，长为3米的圆柱形通风管．若不计损耗，则需要原材料______平方米（保留3位小数）．
正确答案
1.885
解析
解：所需要原材料至少为
π×0.2×3=0.6π≈1.885平方米．
故答案为1.885．
若一圆台的上、下底面圆半径之比为1：2，体积为7π，高为1，则此圆台的侧面积是______．
正确答案
21π
解析
解：设圆台的上、下底面圆半径为r，2r，则
∵体积为7π，高为1，
∴7π=
∴r=
∴圆台的母线长为l=
∴圆台的侧面积是π（3+12+6）=21π．
故答案为：21π．
下列命题中错误的是（ ）
正确答案
解析
解：∵过母线的截面面积等于母线长乘底面弦长
在底面上，最长的弦为过底面圆心的直径
故A圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个正确；
∵过圆锥顶点的截面中面积等于
若轴截面的顶角为锐角或直角，则锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
若轴截面的顶角为钝角，则当θ=
由圆台的性质，我们易得圆台的所有平行于底面的截面都是圆，故C正确；
而圆锥所有的轴截面的顶角相等且两腰长均为母线长，故D正确．
故选：B
底面半径为1的圆柱表面积为6π，则此圆柱的母线长为（ ）
A2
B3
C
D
正确答案
解析
解：因为底面半径为1的圆柱表面积为6π，
设圆柱的母线长为x，则2π×12+π×2x=6π．解得：x=2，
故选A．
由y=|x|和y=3所围成的封闭图形，绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积为______．
正确答案
9π
解析
解：根据题意，可得由y=|x|和y=3所围成的封闭图形是如图的△AOB，其中OA⊥OB，OA=OB
可得所求旋转体是底面半径为3，高为3的圆锥，V圆锥=
故答案为：9π．
已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD-A′B′C′D′内接于圆锥，求这个正方体的棱长．
正确答案
则OS=h，OP=r，OA=
∵△SO′A′∽△SOP，
∴
∴a=
解析
则OS=h，OP=r，OA=
∵△SO′A′∽△SOP，
∴
∴a=
（2015秋•兴庆区校级期末）若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，则圆锥的体积是______．
正确答案
解析
解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则
S=πr2+πr•6r=7πr2=15π，得
即
故答案为：
已知圆锥的体积为12πcm3，底面积为9πcm2，则该圆锥的母线长为______cm．
正确答案
5
解析
解：∵圆锥的体积为12πcm3，底面积为9πcm2，
∴圆锥的底面半径是3，高是4，
∴该圆锥的母线长l=
故答案为：5．
一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
正确答案
解析
解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则：
其底面积：S底面积=πR2
其侧面积：S侧面积=
∵的侧面积是其底面积的2倍
∴l=2R
故该圆锥的母线与底面所成的角θ有
cosθ=
∴θ=60°
故选C
已知圆台的轴截面是腰长为a的等腰梯形，下底边长为2a，对角线长为
正确答案
解析
解：∵a2+（
∴等腰梯形的腰、对角线及下底构成直角三角形，且腰与下底所成的角为60°．
过上底的一端点作腰的平行线，则等腰梯形被分为一个等边三角形和一个菱形，
故上底为a，因此圆台上底半径是
∴这个圆台的体积是
故答案为：
正确答案
解析
解：根据题意，四边形A′B′C′D′还原成梯形直角梯形ABCD如图，
得AB=AD=2，BC=4
∴直角梯形以BC为旋转轴旋转一周，形成的几何体由底面半径和高均为2圆柱，
和底面半径为2，高等于2的圆锥两部分构成，
由此可得，所求的体积为：V=π×22×2+
故答案为：
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