热门试卷

（1）证明见试题解析；（2）.

试题分析：（1）要证明线面垂直，需要找出平面中两条相交直线，易知，根据数量关系，利用勾股定理能够知道，即，从而就能够证出平面；（2）解答本题有两种方法.方法一：直接作出高.由平面知平面平面，在中，过D作于则为三棱锥的高，进而求出的长.方法二：三棱锥等体积法.根据，则，从而求出的高.

试题解析：（1）证明：平面

在中，，

又

 平面

（2）

方法一：作出三棱锥的高

平面，

平面平面

 在中，过D作于，则平面

为三棱锥的高

又 在中，过作于,则

在中,

即，

三棱锥的高为

方法二：等体积变换法

在中，过作于，

在中， 过作于,则

即，

又设三棱锥的高为，

，平面 

   即

   三棱锥的高为

（Ⅰ）证明：平面，．∴平面，则．……(2分)

又平面，则．∴平面．                ……(4分)

（Ⅱ）证明：依题意可知：是中点．平面，则，而．

∴是中点．                                                      ………(6分)

在中，，∴平面．                            ………(8分)

（Ⅲ）解法一：平面，∴，而平面．

∴平面，∴平面．                              ………(９分)

  是中点，∴是中点．∴且．

平面，∴．                                    ……(10分)

∴中，．∴．      ……(11分)

∴．                                  ……(12分)

解法二：．       ……(12分) u

略

证明：（1）在直三棱柱中，平面

面，………………………6分

（2）设，连

为中点，

平面平面

平面……………………………………………12分

略

解:（1）∵平面∥平面，平面平面,

平面平面

.,

∴为平行四边形，.        …………2分

平面,平面，

平面,

∴平面平面.               …………4分

（2）取的中点为，连接、，

则由已知条件易证四边形是平行四边形，

∴，又∵， ∴          …………………………6分

∴四边形是平行四边形，即，

又平面   故 平面.        …………………………8分

（3）平面∥平面，则F到面ABC的距离为AD.

＝.…………………………12分 

略

（Ⅰ）取AB中点E，A1B1中点G，连结EG，交A1B于F，连结CE、C1G，作DM⊥GE于M．

∵平面C1GEC⊥平面A1ABB1，∴DM⊥平面A1ABB1．

作MN⊥A1B于N，连结DN，则MN为DN在平面A1ABB1上的射影，则∠DNM为二面角B1-A1B-D的平面角．……………………………………………………………4分

∴cos∠DNM＝，DM＝C1G＝，∴MN＝．

∵sin∠MFN＝＝，∴MF＝，∴DC＝2．…………………………7分

（Ⅱ）在△A1BD中，A1D＝，BD＝，A1B＝．

cos∠A1DB＝＝－，sin∠A1DB＝，

S△A1BD＝A1D·BDsin∠A1DB＝，

又S△A1AB＝××3＝，点D到面A1AB的距离DM＝CE＝，

设点A到平面A1BD的距离为d，则

S△A1BD·d＝S△A1AB×，∴d＝．

故点A到平面A1BD的距离为．………………………………………………12分

略

（Ⅰ）Q为AC的中点; （Ⅱ）二面角Q-BC1-C的余弦值为．

试题分析：（Ⅰ）借助直线AB1∥平面BC1Q，利用面面平行的性质定理可知AB1∥PQ，然后确定点Q的位置；（Ⅱ）利用空间向量的方法求解，分别求出面BC1C的法向量为m＝(1，0，0)和 平面C1BQ的法向量n＝(1，－，2)，然后利用向量的夹角公式计算二面角Q-BC1-C的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）连接B1C交BC1于点P，连接PQ．

因为直线AB1∥平面BC1Q，AB1Ì平面AB1C，平面BC1Q∩平面AB1C＝PQ，

所以AB1∥PQ．

因为P为B1C的中点，且AB1∥PQ，

所以，Q为AC的中点．      

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系．

设AB＝BC＝a，BB1＝b，则

面BC1C的法向量为m＝(1，0，0)．

B(0，0，0)，C1(0，a，b)，Q(a， a，0)，

＝(0，a，b)，＝(－a， a，b)．

因QC1与面BC1C所成角的正弦值为，

故＝＝，解得b＝a.

设平面C1BQ的法向量n＝(x，y，z)，则

即取n＝(1，－，2)．

所以有cosám，nñ＝＝．

故二面角Q-BC1-C的余弦值为．

（Ｉ）；（ＩＩ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．

试题分析：（I）根据三视图等条件，求出棱锥底面积和高，可求体积；（II）在面PFC内找一直线平行AE即可证明∥平面；（III）证平面平面只需证明平面过平面的一条垂线即可.

试题解析：（Ⅰ）解：由左视图可得 为的中点，

所以 △的面积为 ．      1分

因为平面，                   2分

所以四面体的体积为

                      3分

．                     4分

（Ⅱ）证明：取中点，连结，．                                  5分

由正（主）视图可得 为的中点，所以∥，．      6分

又因为∥，， 所以∥，．

所以四边形为平行四边形，所以∥．                       8分

因为 平面，平面，

所以 直线∥平面．                                            9分

（Ⅲ）证明：因为 平面，所以 ．

因为面为正方形，所以 ．

所以 平面．                                               11分

因为 平面，所以 ．      

因为 ，为中点，所以 ．

所以 平面．                                              12分

因为 ∥，所以平面．                               13分

因为 平面， 所以 平面平面.                   14分

（1）证明如下（2）

试题分析：(1)证明：取的中点、的中点，连结

是平行四边形

平面

平面平面

平面平面

(2)作于,

,,

以所在直线所在直线分别为轴,轴,点位坐标原点建立坐标系.

则

设平面的法向量为

则则

设平面的法向量为

则

点评：在立体几何中，常考的定理是：直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理。对于求二面角，常通过建立空间直角坐标系，利用向量求解。

（文答案）证明：（Ⅰ）连接，由条件可得∥.

因为平面，平面，

所以∥平面.       ----------------------（6分）

（Ⅱ）证明：由已知可得，,是中点，

所以，

又因为四边形是正方形，所以.

因为，所以.

又因为，所以平面平面.   --------（12分）

（理答案）（Ⅰ）证明：连接，由条件可得∥.

因为平面，平面，

所以∥平面.          ----------------------（4分）

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设四棱锥的底面边长为2，

则，，，

，，

.

所以，.

设（），由已知可求得.

所以，.

设平面法向量为，

则即  

令，得. 

易知是平面的法向量.

因为，

所以，所以平面平面.     -----------（8分）

（Ⅲ）解：设（），由（Ⅱ）可知，

平面法向量为.

因为，

所以是平面的一个法向量.

由已知二面角的大小为.

所以，

所以，解得.

所以点是的中点.     ---------（12分）  

略

略

（1）证明：∵平面,，

∴平面,∴.              ……2分

又 ∵平面, ∴，

∵,∴   …………………………4分

（2）证明：连结 ，∵平面, ∴

∵ , ∴为的中点；∵ 矩形中， 为中点，

∴ .         …… ………………………………………7分

∵ ， ∴平面. ……8分

（3）解：取中点，连结，∵,∴

∵平面,∴  ∴  ……10分

∵平面,∴,∴ 

∴，故三棱锥的体积为：

          …12分

（Ⅰ）证明：设的中点为.

在斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点,

平面ABC.        ……………………1分

平面，

.              ……………………2分

，

∴.

，

∴平面.      ……………………3分

平面，

平面平面.                         ………………4分

解法一：（Ⅱ）连接，平面，

是直线在平面上的射影.         ………………5分

，四边形是菱形.

.                  .                   ……………6分

（Ⅲ）过点作交于点，连接

，

平面.   .

是二面角的平面角.            …………9分

设，则，

.

. 

.   .

平面，平面，..

在中，可求.∵，∴.

∴.

.        ……………………………………10分

.

∴二面角的大小为.            ………………12分

解法二：（Ⅱ）因为点在底面上的射影是的中点，设的中点为，则平面ABC.以为原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，由题意可知，.设，由，得

.

又.

.

.                                             ……………………6分

（Ⅲ）设平面的法向量为.

则

∴

.

设平面的法向量为.则

∴

.                          

.                     ……………………10分

二面角的大小为.       ………………………………12分

略

解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分

(2)∵平面，平面

∴平面平面ABCD

∵ ∴BC平面----------5分

∵--6分

∴四棱锥B－CEPD的体积

.----8分

(3) 证明：∵，平面，

平面

∴EC//平面,------------------------------------10分

同理可得BC//平面----------------------------11分

∵EC平面EBC,BC平面EBC且 

∴平面//平面-----------------------------13分

又∵BE平面EBC  ∴BE//平面PDA------------------------------------------14分