- 空间几何体
- 共15406题
正确答案
解析
解：点E，F，G分别是所在棱的中点，
∴根据三角形中位线的性质得到三条线分别平行，
∴两个平面平行故A正确，
∵PC⊥BC，PC⊥AC，
∴PC⊥面ABC，
∵FG∥PC
∴FG⊥面ABC，
∴平面EFG⊥平面ABC
故B正确，
有FE∥BP知C正确，
故选D．
下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是_____①④_．（写出所有真命题的编号）
正确答案
解：对于①，设四面体为D-ABC，过棱锥顶点D作底面的垂线DE，过E分别作AB，BC，CA边的垂线，
其垂足依次为F，G，H，连接DF，DG，DH，则∠DFE，∠DGE，∠DHE分别为各侧面与底面所成的角，
所以∠DFE=∠DGE=∠DHE，于是有FE=EG=EH，DF=DG=DH，故E为△ABC的内心，
又因△ABC为等边三角形，所以F，G，H为各边的中点，
所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD，故DA=DB=DC，
故棱锥为正三棱锥．所以为真命题．
对于②，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，所以为假命题．
对于③，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可，所以为假命题．
对于④，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结合①知底面应为正三角形，所以为真命题．
综上，①④为真命题．
故答案为：①④
解析
解：对于①，设四面体为D-ABC，过棱锥顶点D作底面的垂线DE，过E分别作AB，BC，CA边的垂线，
其垂足依次为F，G，H，连接DF，DG，DH，则∠DFE，∠DGE，∠DHE分别为各侧面与底面所成的角，
所以∠DFE=∠DGE=∠DHE，于是有FE=EG=EH，DF=DG=DH，故E为△ABC的内心，
又因△ABC为等边三角形，所以F，G，H为各边的中点，
所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD，故DA=DB=DC，
故棱锥为正三棱锥．所以为真命题．
对于②，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，所以为假命题．
对于③，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可，所以为假命题．
对于④，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结合①知底面应为正三角形，所以为真命题．
综上，①④为真命题．
故答案为：①④
如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是______．
正确答案
（3）（4）
解析
解：结合四个展开图，将它们复原为几何体，不难看出完全相同的一组是：（3）（4），都是②⑤，①④，③⑥相对．而且顺序相同，故答案为：（3）（4）
正确答案
从而易知△ABD也是等边三角形，
又∵△PAD为等边三角形，
∴AD⊥PE，AD⊥BE，
又∵PE∩BE=E；
故AD⊥平面PBE；
故AD⊥PB．
解析
从而易知△ABD也是等边三角形，
又∵△PAD为等边三角形，
∴AD⊥PE，AD⊥BE，
又∵PE∩BE=E；
故AD⊥平面PBE；
故AD⊥PB．
一个凸多面体各面都是三角形，各顶点引出的棱的条数均为4，则这个多面体只能是（ ）
正确答案
解析
解：设多面体的面数为F，棱数为E，顶点数为V，
由各面都是三角形，则3F=2E
由各顶点引出的棱的条数均为4条，则4V=2E
由欧拉定理：V-E+F=2
代入欧拉公式得
解得
E=12，则F=
故这个多面体只能是8面体．
故选D
在四面体ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，求证：PQRS为一个菱形．
正确答案
证明：由于点P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得：PQ∥RS∥
而由题设，AC=BD，
∴PQ=QR=RS=SP，
故PQRS为一个菱形．
解析
证明：由于点P、Q、R、S依次为棱AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得：PQ∥RS∥
而由题设，AC=BD，
∴PQ=QR=RS=SP，
故PQRS为一个菱形．
A
B
C2
D3
正确答案
解析
其长度就是PM，MN，NQ三条线段的长度之和，
根据勾股定理：|P1Q1|2=（A1Q1）2+（AA1）2+（AP1）2=32+22+32=22，
可得|P1Q1|=
故选：A．
某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）
A2
B2
C2
D4
正确答案
解析
其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，
其中BC=2，BC边上的高为2
由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，
在直角三角形PAC中，由勾股定理得，
PA=
又在钝角三角形ABC中，AB=
故选C．
正确答案
解析
解：∵平面ABFE∥平面DCGH，
且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，
∴EF∥GH．
同理，FG∥EH，
∴四边形EFGH为平行四边形．
故答案为 B
平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为 ______．
正确答案
5
解析
故答案为 5
正四棱柱的体对角线长为3cm，表面积为16cm2，则它的体积为______．
正确答案
4或
解析
设正四棱柱的同一顶点的三边长分别a、a、c，
则它的体对角线长A1B=
又∵表面积为2a2+4ac=16②，
∴
解得
当a=2，c=1时，体积V=a2c=22×1=4cm3；
当a=
故答案为：4或
（Ⅰ）求A1A与底面ABC所成的角；
（Ⅱ）证明A1E∥平面B1FC；
（Ⅲ）求经过A1、A、B、C四点的球的体积．
正确答案
连接AH，并延长交BC于G，于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角．
∵∠A1AB=∠A1AC，∴AG为∠BAC的平分线．
又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点．
因此，由三垂线定理A1A⊥BC．
∵A1A∥B1B，且EG∥B1B，∴EG⊥BC．
于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，
即∠AGE．
由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°．
（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点．连接PF．
在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E∥FP．
而FP⊂平面B1FC，A1E⊄平面B1FC，所以A1E∥平面B1FC．
（Ⅲ）连接A1C．在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AB=∠A1AC，A1A=A1A，
则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B．由已知得A1A=A1B=A1C=a．
又∵A1H⊥平面ABC，∴H为△ABC的外心．
设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A．
在Rt△A1FO中，A1O=
故所求球的半径R=
解析
连接AH，并延长交BC于G，于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角．
∵∠A1AB=∠A1AC，∴AG为∠BAC的平分线．
又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点．
因此，由三垂线定理A1A⊥BC．
∵A1A∥B1B，且EG∥B1B，∴EG⊥BC．
于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，
即∠AGE．
由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°．
（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点．连接PF．
在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E∥FP．
而FP⊂平面B1FC，A1E⊄平面B1FC，所以A1E∥平面B1FC．
（Ⅲ）连接A1C．在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AB=∠A1AC，A1A=A1A，
则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B．由已知得A1A=A1B=A1C=a．
又∵A1H⊥平面ABC，∴H为△ABC的外心．
设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A．
在Rt△A1FO中，A1O=
故所求球的半径R=
①四边形BFD1E一定是平行四边形
②四边形BFD1E有可能是正方形
③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形
④四边形BFD1E点有可能垂直于平面BB1D
以上结论正确的为______（写出所有正确结论的编号）
正确答案
①③④
解析
①由平面BCB1C1∥平面ADA1D1，并且B、E、F、D1四点共面，
∴ED1∥BF，同理可证，FD1∥EB，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故①正确；
②若BFD1E是正方形，有ED1⊥BE，这个与A1D1⊥BE矛盾，故②错误；
③由图得，BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故③正确；
④当点E和F分别是对应边的中点时，平面BFD1E⊥平面BB1D1，故④正确．
故答案为：①③④．
①AA1⊥MN；
②A1C1∥MN；
③MN∥平面A1B1C1D1；
④MN与A1C1异面，
其中有可能成立的结论的个数为（ ）
正确答案
解析
解：当M为A，N为B，得出④可能成立；
当M为AB1的中点，N为BC1的中点，得出②可能成立；
作MM′⊥A1B1于M′，作NN′⊥B1C1于N′，
易证|MM′|=|NN′|，MM′∥NN′
∴MN∥M′N′，
由此知①③正确．
有可能 成立的结论的个数为4．
故选A．
在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形，AA1⊥底面ABC，E是AB的中点，F是BC1的中点．下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．
①EF∥平面ACC1A1；
②平面CEF⊥平面 ABB1A1；
③平面CEF截该三棱柱所得大小两部分的体积比为11：1；
④若该三棱柱有内切球，则AB=
⑤若BB1上有唯一点G，使得A1G⊥CG，则BB1=
正确答案
①②③⑤
解析
解：对于①，由题意可得，EF为△BAC1的中位线，故有EF∥AC1，而AC1⊂平面 ABB1A1，EF⊄平面 ABB1A1，∴EF∥平面ACC1A1，故①正确．
对于②，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABB1A1⊥平面ABC，平面 ABB1A1∩ABC=AB，CE⊥AB，CE⊂平面ABC，∴CE⊥平面 ABB1A1．
再根据CE平面CEF，可得平面CEF⊥平面 ABB1A1，故②正确．
对于③，平面CEF截该三棱柱所得大小两部分，设原棱柱的高为x，底面积为s，则较小的部分为三棱锥F-BCE，它的体积为 
故较大部分的体积sx=
对于④，若该三棱柱有内切球，设内切球的半径为r，则棱AA1 到平面BCC1B1的距离等于2r，且原棱柱的高也都等于2r，
故有2r=
对于⑤，若BB1上有唯一点G，使得A1G⊥CG，则以A1C 为直径的球和棱BB1相切，故求得半径
即 
故答案为：①②③⑤．
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