- 空间几何体
- 共15406题
正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）
正确答案
解析
解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，
故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．
故选D
①AC⊥BE
②EF∥平面ABCD
③异面直线AE，BF所成的角为60°
④A1点到面BEF的距离为定值
⑤三棱柱A-BEF的体积为定值
其中正确的结论有：______（写出所有正确结论的编号）
正确答案
①②④⑤
解析
解：①AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；
②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；
③由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值，故不正确．
④A1点到面DD1B1B距离是定值，所以A1点到面BEF的距离为定值，正确；
⑤三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确．
故答案为：①②④⑤．
直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C，求证：AB1=A1C．
正确答案
证明：∵
∴
同理
∵
∴
∴
设D为BC的中点，则
∴
∴AB=AC．又A1A=B1B，∴A1C=AB1．
解析
证明：∵
∴
同理
∵
∴
∴
设D为BC的中点，则
∴
∴AB=AC．又A1A=B1B，∴A1C=AB1．
（2015秋•胶州市期末）在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1，上分别各取异于端点的一点E，F，M，则△MEF是（ ）
正确答案
解析
解：如图所示，
设AE=x，AF=y，AM=z，
则EF2=x2+y2，MF2=y2+z2，ME2=x2+z2，
∴cos∠EMF=
∴∠EMF为锐角；
同理，∠EFM、∠FEM也是锐角，
∴△MEF是锐角三角形．
故选：B．
正确答案
2
解析
解：由题意，连接DP
∵D1P⊥PC，D1D⊥平面ABCD
∴DP⊥PC
∵边AB上有且只有一个点P，使D1P⊥PC
∴P是AB的中点，
∵AD=1，∴AB=2
故答案为2．
正确答案
解析
则B1C⊥EC1，
所以当且仅当a≤b时，存在点E，使得B1D⊥EC1，
故选：C．
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线
其中真命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：由图知，BC1∥平面ACD1，直线BC1上的点到平面ACD1的距离不变；VA-D1PC=VP-AD1C；其底面面积与高都不变，则体积不变；①正确；
由图知，P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小显然在变；②不正确；
由图知，BC1∥平面ACD1，二面角P-AD1-C的大小恒等于平面ACD1与面BC1D1A所成的锐角，故不变，③正确；
由图知，到点D和C1距离相等的点在平面A1D1C上，故M点的轨迹是过D1点的直线A1D1；故④正确．
故选：C．
如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
①点H与点C重合；
②点D与点M与点R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
其中正确命题的序号是______．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
正确答案
②④
解析
解：把展开图，折叠为正方体如图，容易得到正确答案②④；
故答案为：②④
两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm，把它们重叠在一起组成一个新的长方体，在这些长方体中，最长对角线的长度是（ ）
A
B7
C5
D10
正确答案
解析
分别计算三种情况的体对角线为
或
或
所以最长对角线的长为5
故选C．
在一个棱长为5cm的正方体的表面涂上颜色，若将它的棱都5等分；然后分别从等分点把正方体锯开，在锯开的125个棱长为1cm小正方体中表面仅有2个面涂有颜色的小正方体的个数是（ ）
正确答案
解析
解：在125个小正方体中，恰好有两个面都涂色有颜色的共有共有12×（5-2）=36个正方体．
故答案为 B
一个正四棱柱的侧面展图是一个边长为4的正方形，则它的体积是______．
正确答案
4
解析
∴该正四棱柱的底面边长为1，高为4，
体积为：
V=Sh=1×1×4=4；
故答案为：4．
已知在三棱锥T-ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在地面ABC上的投影为D，给出下列命题：
①TA⊥BC，TB⊥AC，TC⊥AB；
②△ABC是锐角三角形；
③
④
其中正确的是______（写出所有正确命题的编号）．
正确答案
①②③
解析
②设TA=a；TB=b；TC=c，则AB2=a2+b2，同理BC2=c2+b2，Ac2=a2+c2，在三角形ABC中，由余弦定理得：
③设TA=a；TB=b；TC=c，在直角三角形TBC中，得：TE=
在三角形ABC中，有：AE=
由于AE×TD=TA×TE
∴
∴a2b2c2=（a2b2+b2c2+c2a2）TD 2
∴
故③对
④：S△BCA2=S△TBC2+S△ACT2+S△TAB2．证明如下：
如图作TE⊥CB于E，连AE，则AE⊥CB．
S△BCA2 =
=
故不对；
故答案为：①②③．
正确答案
解析
解：∵在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，
∴AB⊥AC
又∵BC1⊥AC，BC1∩AB=B
∴AC⊥平面ABC1，
则C1作C1H⊥底面ABC，
故C1H⊂平面ABC1，
故点H一定在直线AB上
故选B
在三棱锥P-ABC中，△PAB、△PBC、△PAC、△ABC中是直角三角形的最多有（ ）
正确答案
解析
底面ABC是直角三角形，
且∠C=90°，
PA⊥平面ABC，
由三垂线定理，
很容易知道，△PAB、△PBC、△PAC、△ABC都是直角三角形．
故选D．
长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）
A
B
C5
D6
正确答案
解析
解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，
4（a+b+c）=24…①，
2ab+2bc+2ac=11…②，
由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25，
这个长方体的一条对角线长为：5，
故选C．
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