- 空间几何体
- 共15406题
正确答案
解析
当a＞b时，过C1点垂直B1C的直线交于BC上，
所以当且仅当a≤b时，存在点E，使得B1D⊥EC1，
故选：D．
正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比为2：3，则此三棱锥的高与斜高之比为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：如图：
∵△ABC为正三角形，
∴CE=3OE
侧面面积S△SAB=
∵一个侧面面积与底面面积之比为2：3
∴S△SAB：S△ABC=
∴在直角三角形SOE中，∠ESO=30°
∴
故选 A
正三棱锥的底面积为4
正确答案
解：设正三棱锥的底面边长为a，
∴S=
设正三棱锥的斜高为h，则
解得h=3，
由勾股定理可得侧棱l=
解析
解：设正三棱锥的底面边长为a，
∴S=
设正三棱锥的斜高为h，则
解得h=3，
由勾股定理可得侧棱l=
正确答案
解析
如图所示，
取CD、C1D1的中点Q、P，连接PQ，
当点N在线段PQ上时，MN⊥A1C1；
因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，
连接B1D1，交A1C1于点O，∴B1D1⊥A1D1，
取B1C1的中点E，连接PE，则PE∥B1D1，
∴PE⊥A1C1；
又CC1⊥平面A1B1C1D1，PQ∥CC1，
∴PQ⊥平面A1B1C1D1，
∵A1C1⊂平面A1B1C1D1，
∴PQ⊥A1C1；
且PQ∩PE=P，
∴A1C1⊥平面PQME，
PQ⊂平面PQME，
∴A1C1⊥PQ；
∴N点的轨迹为线段PQ．
故选：A．
（1）证明：C1C⊥BD；
（2）当
正确答案
（1）证明：如图，连接A1C1、AC和BD交于O，连接C1O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC=CD．
又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，
∴△C1BC≌△C1DC，
∴C1B=C1D，
∵DO=OB
∴C1O⊥BD，（3分）
又AC⊥BD，AC∩C1O=O，
∴BD⊥平面AC1，
又C1C⊂平面AC1，
∴C1C⊥BD．（6分）
（2）当
∵
∴BC=CD=C1C，
又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，
由此可推得BD=C1B=C1D．
∴三棱锥C-C1BD是正三棱锥．（9分）
设A1C与C1O相交于G．
∵A1C1∥AC，且A1C1：OC=2：1，
∴C1G：GO=2：1．
又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，
∴点G是正三角形C1BD的中心，
∴CG⊥平面C1BD，
即A1C⊥平面C1BD．（12分）
解析
（1）证明：如图，连接A1C1、AC和BD交于O，连接C1O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC=CD．
又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，
∴△C1BC≌△C1DC，
∴C1B=C1D，
∵DO=OB
∴C1O⊥BD，（3分）
又AC⊥BD，AC∩C1O=O，
∴BD⊥平面AC1，
又C1C⊂平面AC1，
∴C1C⊥BD．（6分）
（2）当
∵
∴BC=CD=C1C，
又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，
由此可推得BD=C1B=C1D．
∴三棱锥C-C1BD是正三棱锥．（9分）
设A1C与C1O相交于G．
∵A1C1∥AC，且A1C1：OC=2：1，
∴C1G：GO=2：1．
又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，
∴点G是正三角形C1BD的中心，
∴CG⊥平面C1BD，
即A1C⊥平面C1BD．（12分）
对于四面体ABCD，给出下列命题：
①相对棱AB与CD所在的直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作出三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
其中正确命题的个数为（ ）
正确答案
解析
解：①根据三棱锥的结构特征知正确．
②因为只有对棱相互垂直才行，所以不一定，不正确．
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，若是正四面体时，则两直线相交，不正确．
④因为相对棱中点两两连接构成平行四边形，而对棱的中点的连接正是平行四边形的对角线，所以三条线段相交于一点，故正确．
⑤根据两边之和大于第三边，可知正确．
故答案为：①④⑤
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（ ）
正确答案
解析
∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确；
∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，B正确；
∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，D错误
故选D
过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为______．
正确答案
1：3：5
解析
解：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S侧1：S侧2：S侧3=1：4：9，
所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1：3：5．
故答案为：1：3：5．
若一个平行六面体的四个侧面都是正方形，则这个平行六面体是（ ）
正确答案
解析
解：∵四个侧面都是正方形，
∴相邻两个侧面的公共边垂直于底面，即侧棱垂直于底面．
∴平行六面体为直平行六面体．
故选D
已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
正确答案
解析
解：可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a，b，c，
列出方程组
解得
故长方体的对角线长是
∵对角线长即为它的外接球的直径求出半径，
∴它的外接球的半径为
它的外接球的体积为V=
故答案为
A1
B
C
D
正确答案
解析
解：过E点做EH垂直CD于H，连接EH，易得H即为E在平面ABCD上的射影，
连接AH，BH，如下图所示
则AH，BH，AB分别为FE，EG，FB在平面ABCD上的射影，
又由G在平面ABCD上的射影为B，
故△ABH即为空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影
∵S△ABH=
故选B
如图，E为正方体的棱AA1中点，F为棱AB上一点，且∠C1EF=90°，则|AF|：|FB|=______．
正确答案
1：3
解析
解：设正方体的棱长为2，由题意可知C1E=
∠C1EF=90°，所以设AF=x，12+x2+C1E2=22+22+（2-x）2，
解得：x=
故答案为：1：3．
正确答案
3
解析
解：设长方体的高为x，则由题意可知：
所以长方体的体积：3
故答案为：3
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是______．
正确答案
③④
解析
①BM与ED平行；错误的，是异面直线；
②CN与BE是异面直线，错误；是平行线；
③CN与BM成60°；正确；
④DM与BN是异面直线．正确
判断正确的答案为③④
故答案为：③④
已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为
所以侧棱与底面所成角∠PAO的余弦值等于
故选A．
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