空间几何体_章节学习

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分)在正方体

中，棱长.

(1)为棱的中点，求证：；

(2)求二面角的大小；

(3)求点到平面的距离.

正确答案

(2) (3)

解：(1) ，，

. …………………………4分

(2) 连结与交于点，则面，过点作于点，连结，则即二面角的平面角，……6分

在中，

，，

. （或，）………9分

(3) ∥，到平面的距离即到平面的距离，

又因为点是的中点，到平面的距离即点到平面的距离，面，面面，

过点作的垂线交于点，则面，

的长即点到面的距离，……………………………………11分

在中，，

到平面的距离为.…………………………………………12分

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题型：填空题

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填空题

已知三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC两两垂直，下列结论正确的有______．（写出所有正确结论的编号）

①PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB；

②由顶点P作三棱锥的高，其垂足是△ABC的垂心；

③△ABC可能是钝角三角形；

④相对棱中点的连线相交于一点．

正确答案

①PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，由此条件可以得出，每一条棱都垂直于另外两条棱所确定的平面，由线面垂直即可即出PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB故命题正确；

②由顶点P作三棱锥的高，其垂足是△ABC的垂心，由PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，知三侧棱在底面的射影一定垂直于对边，故垂足是△ABC的垂心，命题正确；

③△ABC可能是钝角三角形，③△ABC不可能是钝角三角形，与实际图形不相符；

④相对棱中点的连线相交于一点，可在图形中用平行四边形对角线相交且互相平分证明出相对棱中点的连线相交于一点，故此命题正确．

综上知结论正确的有①②④

故答案为：①②④．

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题型：填空题

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填空题

在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径γ=．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=______．

正确答案

结论：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r=”证明如下：

设三棱锥的四个面积分别为：S1，S2，S3，S4，

由于内切球到各面的距离等于内切球的半径

∴V=S1×r+S2×r+S3×r+S4×r=S×r

∴内切球半径r=

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是:(1)三角形;(2)长方形;(3)正方形;(4)正六边形.其中正确的结论是____________.(把你认为正确的序号都填上)

正确答案

（2）（3）（4）

试题分析：解：∵正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．三角形截面不过正方体的中心，故（1）不正确；

过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故（2）正确；

过正方体四条互相平行的棱的中点得截面形状为正方形，该截面过正方体的中心，故（3）正确；

过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故（4）正确.

故答案为：（2）（3）（4）

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题型：填空题

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填空题

如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1底面A1B1C1，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，CC1＝，P是BC1上一动点，则A1P＋PC的最小值是。

正确答案

试题分析：连，沿将展开与在同一个平面内，不难看出的最小值是的连线．（在上取一点与构成三角形，因为三角形两边和大于第三边）由余弦定理即可求解．

作展开图

由∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1得,又

所以,,

所以,,所以

由余弦定理

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题型：简答题

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简答题

在如图所示的几何体中,面为正方形,面为等腰梯形,,,,.

(1)求证:;

(2)求三棱锥的体积;

(3)线段上是否存在点,使//平面?证明你的结论.

正确答案

（1）先证，再证，进而用线面垂直的判定定理即可证明；

（2）

（3）线段上存在点,使得//平面成立

试题分析：(1)在△中, 因为,,,

又因为,

平面

(2)解:因为平面,所以.

又因为,平面

在等腰梯形中可得,所以.

△的面积

三棱锥的体积

(3)线段上存在点,且为中点时,有// 平面,证明如下:

连结,与交于点,连接.

因为为正方形,所以为中点

//

又平面

//平面.

线段上存在点,使得//平面成立

点评：线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理经常考查，要灵活准确应用.

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题型：简答题

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简答题

如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，

（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；

（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由.

正确答案

（1）证明略（2）取CD的中点F，则点F即为所求

（1）因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥BE.

又因为△ABC是正三角形，且E为AC的中点，

所以BE⊥CA.

又PA∩CA=A，所以BE⊥平面PAC.

因为BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAC.

（2）取CD的中点F，则点F即为所求.

因为E、F分别为CA、CD的中点，所以EF∥AD.

又EF平面PEF，AD平面PEF，

所以AD∥平面PEF.

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题型：简答题

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简答题

如图所示，已知直四棱柱中，，，且满足

（I）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

正确答案

（I）见解析；（Ⅱ）

（I）设是的中点，连结，

则四边形为方形，，故，

即

又

平面

（Ⅱ）由（I）知平面，

又平面，，

取的中点，连结又，

则，取的中点，连结则

为二面角的平面角

连结，在中，，

取的中点，连结，，在中，

二面角的余弦值为

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题型：填空题

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填空题

正三棱锥P-ABC的底面边长为a，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB的中点，四边形EFGH面积记为S（x），则S（x）的取值范围是______．

正确答案

∵棱锥P-ABC为底面边长为a的正三棱锥，

∴AB⊥PC，

又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，

∴EH=FG=AB，，EF=HG=PC，

则四边形EFGH为一个矩形，

∵正三棱锥P-ABC的底面边长为a，

作CD⊥AB，交AB于D，则CD==a，

作PO⊥CD，交CD于O，则CO=CD=a，

在Rt△POC中，∵∠POC=90°，

∴PC＞CO=，∴EF＞a，

∴四边形EFGH的面积为S＞，

故答案为：（，+∞）．

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题型：填空题

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填空题

正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B 与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的体积为。

正确答案

试题分析：

根据题意可知三棱锥的三条侧棱，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，正三棱柱中，底面边长为，高为

由题意可得：三棱柱上下底面中心连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，正三棱柱的外接球的球心为，外接球的半径为，根据,,可知,.

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题型：简答题

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简答题

如图已知正四棱柱ABCD----A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点。

（1）证明：EF⊥平面;

（2）求点A1到平面BDE的距离;

（3）求BD1与平面BDE所成的角的余弦值.

正确答案

(1) 以D为原点，DA、DC、AA1所在直线为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系.

D(0，0，0)，B（1，1，0）

D1（0，0，2），E（0，1，1），F（，，1）

∴=（1，1，0），=（0，0，2），

=（，－，0）由 ·=0，·=0，

得，EF⊥DB，EF⊥DD1 ∴EF⊥面D1DB1----------------------------------------------------

(2) 设=（x,y,z）是平面BDE的法向量，=(1,1,0)， =(0,1,1)

由⊥, ⊥得即

∴取y=1，=（-1，1，-1）

,由(2)知点到平面BDE的距离为 =----

(3) =(-1,-1,2)

由(2)知

设直线BD1与平面BDE所成的角的正弦值为,则sin=,cos=

∴直线BD1与平面BDE所成的角的余弦值为--------------------

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，，，，为的中点,面．

(Ⅰ)求的长；

(Ⅱ)求证：面面；

(Ⅲ)求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值．

正确答案

（Ⅰ）取的中点，连接

则为梯形的中位线，

又,所以

所以四点共面……………2分

因为面，且面面

所以

所以四边形为平行四边形，

所以……………4分

（Ⅱ）由题意可知平面面；

又且平面

所以面

因为所以面

又面，所以面面；……………6分

（Ⅲ）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系

……7分

设为的中点，则

易证：平面

平面的法向量为……………8分

设平面的法向量为，

由得所以……………10分

所以，……………11分

所以平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值为． ……12分

略

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题型：简答题

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简答题

如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，平面,，，，．

⑴证明：平面平面；

⑵试探究当在什么位置时三棱锥的体积取得最大值，请说明理由并求出这个最大值．

正确答案

⑴是直径，所以，因为平面，，所以平面因为，又因为，所以，所以平面ACD，因为平面，所以平面平面

⑵当为半圆弧中点时三棱锥的体积取得最大值，最大值为

试题分析：⑴因为是直径，所以，因为平面，，因为，所以平面

因为，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面，因为平面，所以平面平面

⑵依题意，，

由⑴知，

，，等号当且仅当时成立，所以当为半圆弧中点时三棱锥的

体积取得最大值，最大值为

（备注：此时，，，设三棱锥的高为，则，）．

点评：第一问要证明两面垂直只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另外一面，即转化为证明线面垂直；第二问首先采用等体积法将所求椎体的体积转化求解的角度，而后借助于均值不等式求得最大值

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题型：简答题

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简答题

已知半径为2cm的半圆形铁皮，用它做成一个圆锥形容器的侧面

⑴求这个圆锥的体积

⑵经过它的侧面，用细绳把A、B连接起来，

则细绳至少要多长？（AB为圆锥底面圆的直径）

正确答案

（1）；（2）.

(1)根据半圆形的面积等于其侧面积

可知,所以.

（2）本小题是侧面展开的问题，沿母线SA剪开，然后展开，则展开后角ASB为直角，所以细绳最短长度为AB的长，AB=cm.

解：(1)根据半圆形的面积等于其侧面积

可知,所以.

（2）沿母线SA剪开，然后展开，则展开后角ASB为直角，所以细绳最短长度为AB的长，AB=cm.

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题型：填空题

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填空题

在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为 .

正确答案

略

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