热门试卷

解：（Ⅰ）∵|CA|+|CB|=10为定值，

所以C点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，焦距2c=6，

设椭圆为方程，且2a=10，

易得a=5，c=3，b=4，

所以C点的轨迹方程为。

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），

当直线MN的倾斜角不为90°时，设其方程为y=k（x+3）（k≠0），

代入椭圆方程化简，得，

显然有，

又，

同理，

所以

，

只要考虑的最小值，即考虑取最小值，

而k≠0，所以上式无最小值，

显然k=0时，取最小值16；

当直线MN的倾斜角为90°时，x1=x2=-3，

得；

∴的最小值不存在。

解：（1）设椭圆C的方程为

∵长轴长是短轴长的倍

∴椭圆方程为

∵在椭圆C上

∴椭圆C的方程为。

（2）①当切线l的斜率不存在时切线方程为

与椭圆的两个交点为或

满足

当切线l斜率存在时，可设l的方程为y=kx+m

解方程组

得x2+2（kx+m）2=8，

即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8 =0，

则Δ=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8） =8（8k2-m2+4）＞0，

即8k2-m2+4>0

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=

∵l与圆相切

∴

∴3m2=8k2+8

∴=

∴OA⊥OB。

②由①可知（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=

=

当k≠0时，|AB|=

因为

所以

所以

所以

当且仅当时取“=”，

当k=0时，

当AB的斜率不存在时，两个交点为或

所以此时

综上，|AB|的取值范围为

即。

解：（Ⅰ）设，

则， ①    ， ②

从而，

由于，所以，进而有，③

根据，可得，

即，

由④2+4×⑤2，并结合①②③得

，

所以动点Ｐ的轨迹方程为；

（Ⅱ）根据（Ⅰ），

所以直线AB的方程为，

即，

从而点到直线AB的距离为

，

又因为，

所以，

而，

所以，

由①+②-2×③得，

从而有，

当且仅当时取等号，

所以，

即的最大值为2。

解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，

∵a2﹣b2=1  ①

又椭圆截抛物线的准线x=﹣1所得弦长为，

∴得上交点为，

∴  ②

由①代入②得2b4﹣b2﹣1=0，

解得b2=1或（舍去），

从而a2=b2+1=2

∴该椭圆的方程为    

（Ⅱ）∵倾斜角为45°的直线l过点F，

∴直线l的方程为y=x﹣1，

由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为F1（﹣1，0），设M（x0，y0）与F1关于直线l对称，

则得 

  解得，

即M（1，﹣2）

又M（1，﹣2）满足y2=4x，

故点M在抛物线上．  

所以抛物线y2=4x上存在一点M（1，﹣2），使得M与F1关于直线l对称．

解：（1）设

则由得

由得

即

所以

又因为

所以

因此所求椭圆的方程为：；

（2）动直线l的方程为：

由得

设

则

假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则

由假设得对于任意的，恒成立

即

解得m=1。

因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）。

解：(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为，

由已知得：a+c=3，a-c=1，

∴a=2，c=1，

∴b2=a2-c2=3，

∴椭圆的标准方程为。

(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立，得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0，

则，

又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2，

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，

∴，即，

∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0，

∴，

∴7m2+16mk+4k2=0，

解得：，且均满足3+4k2-m2＞0，

当m1=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点(2，0)，与已知矛盾；

当时，l的方程为，直线过定点。

所以，直线l过定点，定点坐标为。

解：（Ⅰ）设椭圆方程为（a>b>0），

由已知c =1，又2a=，

则a=，b2=a2-c2=1，

椭圆C的方程是+x2=1；

（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，

若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是，

由解得

即两圆相切于点（1，0），

因此所求的点T如果存在，只能是（1，0），

事实上，点T（1，0）就是所求的点，证明如下：

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0），

若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+），

由

即，

记点A（x1，y1），B（x2，y2），

则

又因为=（x1，1，y1），=（x2，1，y2），

=（x1-1）（x2-1）+y1y2=（x1-1）（x2-1）+k2（x1+）（x2+）

=（k2+1）x1x2+（k2-1）（x1+x2）+k2+1

=（k2+1）+（k2-1）++1=0，

则TA⊥TB，故以AB为直径的圆恒过点T（1，0），所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件。

解：(Ⅰ)设点H的坐标为，则，

由题意，可知，且以H为切点的圆的切线的斜率为，

故切线方程为，

展开得，

即以H为切点的圆的切线方程为，

∵，将x=±2代入上述方程可得点C，D的坐标分别为，

则， ①

及，②

将两式相乘并化简可得动点R的轨迹E的方程为，即。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，轨迹E为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为，

(ⅰ)当直线l斜率为0时，M，N，P三点在x轴上，不妨设，且，

此时有，，

所以，。

(ⅱ)当斜率不为0时，设直线MN的方程为，

则点P的坐标为，

且设点，

联立，消去x，得，

则，

（定值）。

解：（1）椭圆b2x2+a2y2=a2b2（a＞b＞0）与圆x2+y2=4c2只有两个公共点，

故圆x2+y2=4c2必过椭圆长轴端点或短轴端点，2c=a或2c=b

当2c=a时，可得；

当2c=b时，可得．

（2）∵a＞2c，

∴b=2c，

∴，

∴椭圆b2x2+a2y2=a2b2为x2+y2=a2．

设直线x﹣y+m=0与x2+y2=a2联立，消去y可得9x2+10mx+5m2﹣4a2=0

令△=0可得m=，

根据题意，取m=

由题意，直线x﹣y+=0与直线x﹣y﹣c=0距离为．

∴

∵a=c

∴a2=5c2∵

∴c=1，a=，b=2

∴椭圆的方程为