热门试卷

(1)；.(2). (3).

试题分析：（1）将D的坐标代入即得，从而得椭圆的方程为.

将代入得.由此可得和的面积，二者相加即得四边形的面积.（2）在椭圆中AP不可能平行BC，四边形ABCP又为梯形，所以必有，由此可得直线PC的方程，从而求得点P的坐标.（3）设，由得则与间的关系，即，又因为点P在椭圆上，所以，由此可得，这样利用三角函数的范围便可求得的范围.

（1）因为点D在椭圆上，所以，

所以椭圆的方程为.

易得：，的面积为.

直线BD的方程为，即.所以点A到BD的距离为，，.

所以.

（2）四边形ABCP为梯形，所以，直线PC的方程为：

即.代入椭圆方程得（舍），

将代入得.所以点P的坐标为.

（3）设，则，即

因为点P在椭圆上，所以，

由此可得，

所以.

（1）椭圆的标准方程为.

（2）不存在，详见解析

解：（1）设椭圆的标准方程为，且.

由题意可知：，.            

所以.            

所以，椭圆的标准方程为.     

（2）由（1）得.设.

（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为.

由 解得：或

即（不妨设点在轴上方）.

则直线的斜率，直线的斜率.

因为 ，

所以.

所以 .

（ⅱ）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.

由消去得：.

因为 点在椭圆的内部，显然.

因为 ，，，

所以

.

所以 .

所以 为直角三角形.

假设存在直线使得为等腰三角形，则.

取的中点，连接，则.

记点为.

另一方面，点的横坐标，

所以 点的纵坐标.

所以

.

所以 与不垂直，矛盾.

所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形

（1）；（2）（3）

试题分析：（1）双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为。根据题意原点到直线的距离为，又因为可解得。（2）由题意知即点到直线，和到点的距离相等，根据椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点以直线为准线的抛物线。（3）由的方程为知设，根据得出的关系，用两点间距离求，再用配方法求最值。

试题解析：解（1）易知：双曲线的离心率为，，

即 ，                             1分

又由题意知：，                          2分

椭圆的方程为.                                   3分

（2） 

动点到定直线的距离等于它到定点的距离       5分

动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，              6分

点的轨迹的方程为.                                7分

（3）由（2）知：,设，

则，                      8分

，                  9分

由，左式可化简为：，               10分

，

当且仅当，即时取等号，                       11分

又，

当，即时，，                  13分

故的取值范围是.                                14分

（1）（2）

试题分析：

（1）根据m的取值范围可以判断椭圆C的焦点，得到点A的坐标，则根据点与点的中点坐标公式可以用点P,A的坐标计算得到点M的坐标，把M点的坐标带入椭圆即可求的m的值.

（2）从题得A,P关于M对称，则可以设出M点的坐标，得到P点的坐标(中点的坐标公式)，因为OM与OP垂直，则根据向量的内积为0可以得到关于M点坐标的方程，则把该方程与M点满足的椭圆方程联立消纵坐标即可求出m关于M点横坐标的方程，再利用基本不等式就可以求出m的取值范围(注意取得等号条件的验证与m值本身具有正数的范围)

试题解析：

（1）依题意，是线段的中点，因为，

所以点的坐标为．   2分

由点在椭圆上，所以，解得．     4分

（2）设，则，且．①   5分

因为是线段的中点，所以．      7分

因为，所以．②      9分

由①，②消去，整理得．      11分

所以，   13分

当且仅当时，上式等号成立．

所以的取值范围是．     14分

（1）见解析（2）椭圆方程为＋y2＝1.P点坐标为

(1)证明：设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T.

AT：＝1②，BF：＝1③，解得交点C，代入①得

＝＝1，满足①式，则C点在椭圆上，即A、C、T

三点共线．

(2)解：过C作CE⊥x轴，垂足为E，则△OBF∽△ECF.

∵＝3，CE＝b，EF＝c，则C，代入①得＝1，∴a2＝2c2，b2＝c2.设P(x0，y0)，则x0＋2＝2c2.此时C，AC＝c，S△ABC＝·2c·＝c2，

直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，P到直线AC的距离为d＝，

S△APC＝d·AC＝··c＝·c.只须求x0＋2y0的最大值，

(解法1)∵(x0＋2y0)2＝＋4＋2·2x0y0≤＋4＋2(＋)＝3(＋2)＝6c2，∴x0＋2y0≤c.当且仅当x0＝y0＝c时，(x0＋2y0)max＝c.

(解法2)令x0＋2y0＝t，代入＋2＝2c2得(t－2y0)2＋2－2c2＝0，即6－4ty0＋t2－2c2＝0.Δ＝(－4t)2－24(t2－2c2)≥0，得t≤c.当t＝c，代入原方程解得x0＝y0＝c.

∴四边形的面积最大值为c2＋c2＝c2＝，∴c2＝1，a2＝2，b2＝1，此时椭圆方程为＋y2＝1.P点坐标为.

（1）椭圆的方程为；（2）定直线的方程为.

试题分析：（1）因为是边长为2的正三角形，所以，椭圆的方程为；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出；

设点的坐标为则由，解得，故点在定直线上.

试题解析：（1）因为是边长为2的正三角形，所以，所以，椭圆的方程为

（2）由题意知，直线的斜率必存在，设其方程为.并设

由消去得

则 

由得故

设点的坐标为则由得

解得: 故点在定直线上.

（1）＝1（2）（3）

(1)∵e＝不妨设c＝3k，a＝5k，则b＝4k，其中k>0，故椭圆方程为＝1(a>b>0)，∵P在椭圆上，∴＝1解得k＝1，∴椭圆方程为＝1.

(2)kAP＝,则直线AP的方程为y＝－x＋4，

令y＝t，则x＝∴M.∵Q(0，t)∴N，

∵圆N与x轴相切，∴＝t，由题意M为第一象限的点，则＝t，解得t＝.∴N，圆N的方程为.

(3)F(3，0)，kPF＝，∴直线PF的方程为y＝(x－3)即12x－5y－36＝0，

∴点N到直线PF的距离为，

∴d＝＋(4－t)，∵0

∴当0时，d＝(6－5t)＋(4－t)＝，此时≤d<，

当(5t－6)＋(4－t)＝，此时，

∴综上，d的取值范围为.

（1）见解析（2）△OMN的面积为定值1

(1)证明：易知A(2，1)，B(－2，1)．设P(x0，y0)，则＋＝1.由＝m＋n，得所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝，故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上．

(2)解：(解法1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，平方得＝16＝(4－)(4－)，即＋＝4.因为直线MN的方程为(y1－y2)x－(x1－x2)y＋x1y2－x2y1＝0，所以O到直线MN的距离为d＝，所以△OMN的面积S＝MN·d＝|x1y2－x2y1|＝＝＝＝1，故△OMN的面积为定值1.

(解法2)设OM的方程为y＝kx(k>0)，则ON的方程为y＝－x(k>0)．联立方程组解得M.同理可得N

因为点N到直线OM的距离为d＝，OM＝＝2，所以△OMN的面积S＝d·OM＝＝1，故△OMN的面积为定值．

（1）；（2）直线恒过定点．

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用点在椭圆上和离心率得到方程组，解出a和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，需要对直线MN的斜率是否存在进行讨论，（ⅰ）若存在点P在MN上，设出直线MN的方程，由于直线MN与椭圆相交，所以两方程联立，得到两根之和，结合中点坐标公式，得到直线MN的斜率，由于直线MN与直线垂直，从而得到直线的斜率，因为直线也过点P，写出直线的方程，经过整理，即可求出定点，（ⅱ）若直线MN的斜率不存在，则直线MN即为，而直线为x轴，经验证直线，也过上述定点，所以综上所述，有定点．

（1）因为点在椭圆上，所以， 所以，        1分

因为椭圆的离心率为，所以，即，      2分

解得，  所以椭圆的方程为．        4分

（2）设，，

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

由得，

所以， 因为为中点，所以，即．

所以，                  8分

因为直线，所以，所以直线的方程为，

即 ，显然直线恒过定点．    10分

②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过点．                 

综上所述直线恒过定点．    12分