- 集合
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下列五个关系式：（1）{a，b}⊆{b，a} （2）{0}=∅（3）0∈{0} （4）∅∈{0}（5）∅⊆{0}，其中正确的是______ （请写上编号）
正确答案
∵一个集合是它本身的子集，
∴{a，b}⊆{b，a}，故（1）成立；
∵{0}中含有一个元素0，∅中没有任何元素，
∴{0}≠∅，故（2）不成立；
∵0是集合{0}中的元素，
∴0∈{0}，故（3）成立；
∵∅和{0}都是集合，集合和集合之间不能用∈或∉来表示，
∴（4）不正确；
∵∅是{0}的子集，
∴∅⊆{0}，
故（5）正确．
故答案为：（1），（3），（5）．
已知集合A={x||x-a|≤1}，B={x|x2-5x+4≥0}．若A∩B=∅，则实数a的取值范围是______．
正确答案
集合A={x||x-a|≤1}={x|a-1≤x≤a+1}，
B={x|x2-5x+4≥0}={x|x≥4或x≤1}．
又A∩B=∅，
∴
解得2＜a＜3，
即实数a的取值范围是（2，3）．
故应填（2，3）．
下列表示正确有______．
（1）a⊆{a}；
（2）{a}∈{a，b}；
（3）{a，b}⊆{b，a}；
（4）{-1，1}
（5）∅
正确答案
对于①a⊆{a}，根据元素与集合之间的关系易知不正确；
对于②{a}∈{a，b}，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；
对③{a，b}⊆{b，a}，根据集合是它本身的子集，易知正确；
对④{-1，1}
对⑤∅
故答案为：（3）（4）（5）．
已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*）．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m，则称S具有性质P．
（Ⅰ）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由．
（Ⅱ）若n=1000时
①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；
②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．
正确答案
（Ⅰ）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P．（1分）
因为对任意不大于10的正整数m，
都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+m，使得|b1-b2|=m成立．（2分）
集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}具有性质P．（3分）
因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1，c2=3k2-1，k1，k2∈N*
都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1．（4分）
（Ⅱ）当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}
①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．（5分）
首先因为T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x0∈T，其中x0∈S，
因为S⊆A，所以x0∈{1，2，3，…，2000}，
从而1≤2001-x0≤2000，即t∈A，所以T⊆A．（6分）
由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，
使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m．
对于上述正整数m，
从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素t1=2001-x1，t2=2001-x2，其中x1，x2∈S，
则有|t1-t2|=|x1-x2|≠m，
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P．（8分）
②设集合S有k个元素．由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．
任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001-x中必有一个不超过1000，
所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，
不妨设S中有t(t≥
由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，
使得对S中任意两个元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m，
所以一定有b1+m，b2+m，…，bt+m∉S．
又bi+m≤1000+1000=2000，故b1+m，b2+m，…，bt+m∈A，
即集合A中至少有t个元素不在子集S中，
因此k+
当S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}时，
取m=667，则易知对集合S中任意两个元素y1，y2，
都有|y1-y2|≠667，即集合S具有性质P，
而此时集合S中有1333个元素．
因此集合S元素个数的最大值是1333．（14分）
设A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，C={x|x=2（k+1），k∈Z}，D={x|x=2k-1，k∈Z}，在A、B、C、D中，哪些集合相等，哪些集合的交集是空集？
正确答案
∵A={x|x=2k，k∈Z}={偶数}，
B={x|x=2k+1，k∈Z}={奇数}，
C={x|x=2（k+1），k∈Z}={偶数}，
D={x|x=2k-1，k∈Z}={奇数}，
∴A=C，B=D；A∩B=∅，A∩C=∅，C∩B=∅，C∩D=∅．
下列关系①3⊆{x|x≤10}；②
正确答案
①中是元素和集合的关系，应该用∈，故错误；②
③中是两个集合间的关系，应用⊆，故错误；④∅是任何集合的子集，故正确．
故答案为：④
关于x的不等式（ax-2）（x+a-1）＜0的解集为A．
（1）若-2∈A，求a的范围；
（2）若a＜0，且A⊇（-∞，-1）∪（4，+∞），求a的范围．
正确答案
（1）∵-2∈A，
∴（-2a-2）（-2+a-1）＜0，
得a∈（-∞，-1）∪（3，+∞）
（2）当a＜0时，
A=(-∞，
∵A⊇（-∞，-1）∪（4，+∞）
∴
得-3≤a≤-2．
用适当的符号“∈、∉、⊆、⊇、=”填空
正确答案
∵
∵3是{1，2，3}中的元素，所以3∈{1，2，3}，
∵{3}是{1，2，3}中的真子集，所以{3}⊆{1，2，3}，
∵空集是任何非空集合的真子集，所以∅⊆{0}，
故答案为∈；∈；⊆；⊆．
已知数集M={x2，1}，则实数x的取值范围为______．
正确答案
∵数集M={x2，1}，
根据集合的元素的互异性知x2≠1，
∴x≠±1，
∴实数x的取值范围为{x|x∈R，且x≠±1}，
故答案为：{x|x∈R，且x≠±1}
函数f（x）=（2x）2-2×2x+2的定义域为M，值域为[1，2]，给出下列结论：
①M=[1，2]； ②0∈M；③1∈M；④M⊇[-2，1]；⑤M⊆（-∞，1]； ⑥．M=（-∞，1]
其中一定成立的结论的序号是______．
正确答案
设2x=t，则t＞0，
f（x）=t2-2t+2=（t-1）2+1≥1，
∵函数f（x）=（2x）2-2×2x+2的值域为[1，2]，
∴当x=0时，2x=1，
∴其定义域为x=0∈M，故②一定成立；
为了使得函数f（x）取到最小值1，则1∈M，故③一定成立；
由于M必定是（-∞，1]子集，故⑥正确；
M可以是[0，1]，故①④⑥错．
故答案为：②③⑤
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