热门试卷

（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P．

集合{﹣1，2，3}具有性质P，

其相应的集合S和T是 S=（﹣1，3），（3，﹣1），T=（2，﹣1），（2，3）．

（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个．

因为0A，所以（ai，ai）T（i=1，2，，k）；

又因为当a∈A时，﹣aA时，﹣aA，

所以当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）T（i，j=1，2，，k）．

从而，集合T中元素的个数最多为 ，

即 ．

（III）解：m=n，证明如下：

（1）对于（a，b）∈S，根据定义，

a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T．

如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，

那么a=c与b=d中至少有一个不成立，

从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．

故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．

可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，

（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，且a﹣b∈A，

从而（a﹣b，b）∈S．

如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，

那么a=c与b=d中至少有一个不成立，

从而a﹣b=c﹣d与b=d中也不至少有一个不成立，

故（a﹣b，b）与（c﹣d，d）也是S的不同元素．可

见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，

由（1）（2）可知，m=n．

（1）因为B=∅，所以，关于x的方程x2-2（a+1）x+a2-1=0无实数根，

由于△=[-2（a+1）]2-4（a2-1）=8（a+1）

所以8（a+1）＜0，即a＜-1．

所以B=∅时，实数a的取值范围是a＜-1；     …（3分）

（2）因为A∩B=B，所以B⊆A={0，4}，

又B≠∅，所以

①当B={0}或{4}时，关于x的方程x2-2（a+1）x+a2-1=0有两个相等的实数根，

即△=0，解得a=-1，经检验，适合题意；        …（5分）

②当B={0，4}时，关于x的方程x2-2（a+1）x+a2-1=0有两个不相等的实数根，且两根为0和4，

故有，解得a=1，经检验，适合题意； …（7分）

所以，B≠∅，且A∩B=B时，实数a的取值范围是a=±1．…（8分）

∵{a，b}⊊A⊊{a，b，c，d}，

∴满足条件的集合A中必包含a和b两个元素，但不能等于集合{a，b}或{a，b，c，d}．

故A={a，b，c}，或{a，b，d}．

（1）A={x|1＜x＜7}，

当a=4时，B={x|x2-2x-24＜0}={x|-4＜x＜6}，（（4分））

∴A∩B={x|1＜x＜6}（5分）

（2）B={x|（x+a）（x-a-2）＜0}（6分）

①当a=-1时，∵B=∅，∴A⊆B不成立；（8分）

②当a+2＞-a，即a＞-1时，B=（-a，a+2），∵A⊆B，∴，解得a≥5；（11分）

③当a+2＜-a，即a＜-1时，B=（a+2，-a），∵A⊆B，∴解得a≤-7；（14分）

综上，当A⊆B，实数a的取值范围是（-∞，-7]∪[5，+∞）．（15分）

解：（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx

因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，

所以f（x）=。

（2）因为函数f（x）=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，

所以方程组：有解，消去y得ax=x，

显然x=0不是方程ax=x的解，

所以存在非零常数T，使aT=T

于是对于f（x）=ax有

故f（x）=ax∈M。

（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M

当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，

所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，

即sin（kx+kT）=Tsinkx

因为k≠0，且x∈R，

所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx ∈[-1，1]，sin（kx+kT）∈[-1，1]，

故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立，

只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx 成立，则k=2mπ，m∈Z

当T=-1时，sin（kx-k）=-sinkx成立，即sin（kx-k+π）=sinkx 成立，

则-k+π=2mπ，m∈Z ，即k=-2（m-1）π，m∈Z

综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}。

（1）∵集合A={x|3≤x＜7}，

∴CRA={x|x＜3，或x≥7}，

∵B={x|2＜x＜10}，

∴（CRA）∩B={x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．

（2）∵非空集合B={x|x=log2m}，若B⊆{1，2}，

∴log2m=1，或log2m=2，

∴m=0，或m=4．

∴实数m的取值是0或4．

分两种情况考虑：

（i）若B不为空集，可得m+1＜2m-1，解得：m＞2，

∵B⊆A，A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m-1}，

∴m+1≥-2，且2m-1≤7，解得：-3≤m≤4，

此时m的范围为2＜m≤4；

（ii）若B为空集，符合题意，可得m+1≥2m-1，解得：m≤2，

综上，实数m的范围为m≤4．

（1）由题意p∪S⊆p，则S⊆P．

由|x-1|≤m，可得1-m≤x≤m+1，

要使S⊆P，则

∴m≤3．

综上，可知m≤3时，有p∪S⊆p；

（2）由题意x∈P是x∈S的充要条件，则P=S．

由x2-8x-20≤0⇒-2≤x≤10，

∴P=[-2，10]．

由|x-1|≤m⇒1-m≤x≤1+m，∴S=[1-m，1+m]．

要使P=S，则 ∴

∴这样的m不存在．