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证明过程详见试题解析.

试题分析：（Ⅰ）要证明平面，就是要在平面内找一条直线与直线平行，显然符合要求；（Ⅱ）要证明平面，就是要在平面内找两条相交直线与垂直.显然符合要求.

试题解析：（Ⅰ）证明：在矩形中,, 又平面, 平面,所以平面.

（Ⅱ）证明：如图在矩形中,点为的中点, 又, 故,.又因为, 平面, 所以平面.

18．（本小题满分14分）

解：（1）设线段的中点为，由平面得：，

又，所以是正方形，点是线段的中点，

所以，所以，……………………………………………………2分

由平面得：，…………………………………………………3分

又，所以，且，

所以：，所以，………………………………………………5分

所以：平面，所以；……………………………………6分

（2）如图以为原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，   --------8分

设平面的法向量为，则有

，

令，则     …………………………10分

设平面的法向量为，则有

，令，则…………………………………12分

所以：，

所以：平面与平面所成的角的余弦值是。…………………………14分

略

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）欲证面面垂直，应先证线线垂直、线面垂直.注意到在中的边长关系，应用勾股定理逆定理可得为直角三角形，．

又，且是的中点，可得，从而证得平面，即证得

平面平面．

（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用“向量法”求解.

确定平面的一个法向量为，

根据，得到直线与平面所成角的正弦值为．

试题解析：（1）证明：在中，，

，

，

则为直角三角形，

所以，．

又由已知，

且是的中点，可得

又，

平面

又面

平面平面．（6分）

（2）以点为坐标原点，建立如图

所示直角坐标系，

则，

．

设平面的法向量为，则有

即

解得：，

所以，平面的一个法向量为，

，

故直线与平面所成角的正弦值为．（12分）

（1）BC⊥PC；（2）.

试题分析：（1）要证线线垂直，要从线面垂直角度入手，根据题中所给条件易知BC⊥平面PDC，而PC在平面PDC，从而能够证明出BC⊥PC. （2）要求点到面的距离，常用到等体积定理，由已知条件可知

VA－PBC＝VP－ABC ，而通过计算可知VP－ABC＝S△ABC·PD＝，接下来只需要求出△PBC的面积，这样根据S△PBC·h＝，∴h＝，所以点A到平面PBC的距离为.

试题解析：(1)∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.

由∠BCD＝90°知，BC⊥DC，

∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC，

∴BC⊥PC.

(2)设点A到平面PBC的距离为h，

∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°，

∵AB＝2，BC＝1，∴S△ABC＝AB·BC＝1，

∵PD⊥平面ABCD，PD＝1，

∴VP－ABC＝S△ABC·PD＝，

∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，

∵PD＝DC＝1，∴PC＝，

∵PC⊥BC，BC＝1，

∴S△PBC＝PC·BC＝，

∵VA－PBC＝VP－ABC，

∴S△PBC·h＝，∴h＝，

∴点A到平面PBC的距离为.

（1）证明过程详见解析；（2）正弦值为；（3）存在，点E即为所求.

试题分析：本题以三棱锥为几何背景考查面面平行和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，首先由点的正投影在上得平面，利用线面垂直的性质，得，在原直角梯形中，利用已知的边和角，得到，，所以得到为等边三角形，从而知是的中点，所以可得，，

利用面面平行的判定得出证明；第二问，先建立空间直角坐标系，写出所需点的坐标，先设出平面的法向量，利用求出，利用夹角公式求直线和法向量所在直线的夹角；第三问，由已知和前2问过程中得到的数据，可以看出，所以点即为所求.

试题解析：（I）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上，

所以平面，所以，                  1分

因为在直角梯形中，，，，，

所以，，所以是等边三角形，

所以是中点，                     2分

所以，                      3分

同理可证，

又，

所以平面平面.                          5分

（II）在平面内过作的垂线 如图建立空间直角坐标系，则，，，      6分

因为，，

设平面的法向量为，

因为，，

所以有，即，

令则 所以 ，                8分

，                   10分

所以直线与平面所成角的正弦值为 .               11分

(III)存在，事实上记点为即可                      12分

因为在直角三角形中，，   13分

在直角三角形中，点，

所以点到四个点的距离相等.                   14分

（1）见解析；（2）见解析；（3）.

本题考查了线面平行与垂直及二面角的求法。第一问抓住线面垂直的判定定理须证，；第二问先说明是棱的中点，再,取的中点H，证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理得证；第三问利用法向量求二面角的余弦值，要注意法向量的准确求解和余弦值的正负。

解：(I) 证明：∵在直三棱柱中，，点是的中点，

∴  …………………………1分

,, 

∴⊥平面 ………………………2分

平面

∴，即 …………………3分

又

∴平面     …………………………………4分

（II）当是棱的中点时，//平面.……………………………5分

证明如下:

连结,取的中点H，连接,

则为的中位线 

∴∥，…………………6分

∵由已知条件，为正方形

∴∥，

∵为的中点，

∴                                       ……………………7分

∴∥，且

∴四边形为平行四边形

∴∥

又 ∵          

∴//平面                                    ……………………8分

(III)∵直三棱柱且

依题意，如图：以为原点建立空间直角坐标系，……………………9分

,,,,

则，

设平面的法向量，

则,即，

令，有                            ……………………10分

又平面的法向量为，

==，                   ……………………11分

设二面角的平面角为，且为锐角

．                      ……………………12分.