热门试卷

证明：（I）过O作OF⊥BC于F，连接O1F，

∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F，

∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角，…（3分）

∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=．

在Rt△O1OF在，tan∠O1FO=，

∴∠O1FO=60°即二面角O1-BC-D为60°…（6分）

解：（II）在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C

∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1OF，交线O1F．

过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距

离，…（9分）

点E到面O1BC的距离等于OH，

∴OH=．∴点E到面O1BC的距离等于．…（12分）

解：法二：（I）在正方体中，有OO1⊥平面AC，∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，建立如图所示的空间直角坐标系（如图）∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=2，OB=2

则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），

O1（0，0，3）∴

设平面O1BC的法向量为=（x，y，z），

则⊥，⊥，

∴，则z=2，x=-，y=3，

∴=（-，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）

∴cos＜，＞=，

设O1-BC-D的平面角为α，∴cosα=，∴α=60°．

故二面角O1-BC-D为60°．

（II）设点E到平面O1BC的距离为d，

∵E是O1A的中点，∴=（-，0，），

则d=

∴点E到面O1BC的距离等于．

（Ⅰ）证明：∵面PAD⊥面ABCD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，

∴AB⊥面PAD，

又AB⊂面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．

（Ⅱ）解：取AD中点O，连接PO，∵△PAD为正三角形，

∴PO⊥AD，由（Ⅰ）知AB⊥面PAD，PO⊂面PAD，

∴PO⊥面ABCD，建立空间直角坐标系如图2所示，

则O（0，0，0），P，C（1，0，0），D（0，1，0），，

B（1，-1，0），A（0，-1，0）．

∴，．

设平面PAE的法向量为，

则，令z=，则y=-3，x=9，∴．

取平面ABE的法向量为．

∴==．

∴=．

∴二面角P-AE-B的正弦值为

解：（Ⅰ）如图，以A为原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系．

设AA1=a（a＞0），依题意得

B1（，-，a），A（0，0，0），C（0，1，0）．

∴=（-，，-a），==（0，1，0），

由异面直线B1C与A1C1所成的角为60°，得

|cos＜，＞|===，

解之得a=．…（4分）

所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为：

V=S△ABC•AA1=AB•ACsin120°•AA1=×1×1××=．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（-，，-）．

设=（x，y，z）为面ACB1的一个法向量，则•=0，•=0，

可得：

取z=1，得x=-2，于是=（-2，0，1）．…（9分）

又∵=（0，0，1）为面ACB的一个法向量，

∴cos＜，＞==，即为平面ACB与平面ACB1所成角的余弦值．

因此，二面角B1-AC-B的余弦值为．…（12分）

（1）证明：连接AC1，设O=AC1∩A1C，连接OD

∵底面ABC为正三角形，侧面均是边长为2的正方形

∴DA=DA1=DC=DC1=，OA=OA1=OC=OC1∴DO⊥AC1，DO⊥A1C

∵AC1∩A1C=O

∴DO⊥平面AA1C1C，

∵DO⊂平面A1CD 

∴平面A1CD⊥平面AA1C1C；

（2）解：以O为坐标原点，OA，OA1，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

则O﹙0，0，0﹚，A1﹙0，，0﹚，C1﹙-，0，0﹚D﹙0，0，﹚则，

设平面A1C1D的法向量为，由，可得，取

又OA⊥平面A1CD，则平面A1CD的一个法向量为

∴cos==-

∴二面角C-A1D-C1的正弦值为．

（Ⅰ） 证明：∵四边形是平行四边形，∴∠ACB=∠DAC=90°，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，

又AC⊥DA，AC∩PA=A，∴DA⊥平面PAC．

（Ⅱ）解：分别以AC，AD，AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则

设G为PD上一点，使CG∥平面PAF，

令，

设平面PAF法向量为

∵

∴

∴可取平面PAF法向量，

要CG∥平面PAF，∴，解得．

∴G为PD中点时，CG∥平面PAF．

（Ⅲ）解：平面PCD法向量为

∵

∴

∴可取平面PCD法向量，

∴

∴所求二面角的余弦值为．

解：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．

由已知AB=2，AA1=1，AC=．

可得A（0，0，0），B（2，0，0），E（），F（1，0，1），C（）．

，，

∴

∴异面直线AE与BF所成角的大小为；

（2）设是平面BCF的一个法向量，

由可得

即，可得．

取平面ABF的一个法向量为

即二面角A-BF-C的大小为arccos．

（3）点A到平面BCF的距离，即在平面BCF的法向量的投影的绝对值，

所以距离d=||==．

所以点A到平面BCF的距离为．

（Ⅰ）证明：分别以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），

在Rt△EBD中，∵BE=1，DE=，∴BD=，∴D为AB中点，∴D（1，1，0），

∴，，，，

，．

由，可得CD⊥AB，

，可得CD⊥AA1，

∵AB∩AA1=A，∴CD⊥平面ABB1A1；

（Ⅱ）解：设平面A1EC的法向量为，

由，得，取z=2，得y=-1，x=-2．

∴．

设平面A1ED的法向量为，

由，得，取y=1，得x=1，z=0．

∴．

设向量所成的角为α，则==，

∴．

故所求二面角的大小为．

证明：（Ⅰ）连接AC，BD交于O，连OF，如图1

∵F为DE中点，O为BD中点，

∴OF∥BE，OF⊂平面ACF，BE⊄平面ACF，

∴BE∥平面ACF．…（6分）

（Ⅱ）如图2，过E作EH⊥AD于H，过H作MH⊥BC

于M，连接ME，同理过F作FG⊥AD于G，过G作NG⊥BC于N，连接NF，

∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，

∴AE⊥CD，

∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE，

∴CD⊥平面DAE，EH⊂平面DAE，

∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，AD⊂平面ABCD，EH⊥平面ABCD，

∴HE⊥BC，

∴BC⊥平面MHE，

∴∠HME为二面角E-BC-D的平面角，

同理，∠GNF为二面角F-BC-D的平面角，

∵MH∥AB，

∴，

又，

∴，而∠HME=2∠GNF，

∴，

∴，，

又GF∥HE，

∴，

∴．…（15分）

解法二：

（Ⅱ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，

∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE，

∴CD⊥平面DAE，如图建立坐标系，

则E（3，0，0），F（a，0，0），，A（3，0，3），D（0，0，0）

由得，设平面ABCD，

且，

由

设平面BCF，且，

由

设平面BCE，且，

由

设二面角E-BC-F的大小为α，二面角D-BC-F的大小为β，α=β，，

∴，

∵0＜a＜3，∴．…（15分）