热门试卷

解：（1）建立空间直角坐标系A-BDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1），依题设N（x，0，z），则=（-x，，1-z），由于NE⊥平面PAC，

∴

即，

即点N的坐标为（，0，1），

从而N到AB、AP的距离分别为1．

（2）设N到平面PAC的距离为d，则d=

=．

解：（1）证明：在长方体AC1中，∵底面ABCD是边长为4的正方形，∴对角线BD⊥AC．

又∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥BD．

AC∩A1A=A，AC⊂面A1ACC1，A1A⊂面A1ACC1；

∴BD⊥面A1ACC1．

（2）由（1）知，BD⊥面A1ACC1，且OP⊂面A1ACC1．

∴BD⊥OP．

（3）分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则B（4，4，0），A1（4，0，4），P（0，4，2），

=（0，-4，4），=（0，4，2），=（4，4，0），

设=（x，y，z）为平面DBP的一个法向量，

则，即，取=（1，-1，），

点A1到平面平面DBP的距离d=||×|cos＜，＞|=||×||==6，

BD=4，OP===4，

则S△BDP=×BD×OP=×4×4=8，

所以三棱锥P-A1DB的体积V=×S△BDP×d=×8×6=16．

（Ⅰ）证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，-1，），D（，-1，0），C（0，2，0），因而E（0，，），F（，，0），所以=（，0，-），=（0，2，0），因此•=0，所以EF⊥BC．

（Ⅱ）解：在图中，设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，），

由得其中一个=（1，-，1），

设二面角E-BF-C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则

cosθ=|cos＜，＞|=||=，

因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．

解：S△ABC=|AB||AC|sinα，其中α是AB与AC这两条边的夹角．则

S△ABC=||||=||||

=．

∵=（2，1，-1）-（1，-1，1）=（1，2，-2），=（-1，-1，-2）-（1，-1，1）=（-2，0，-3），

∴||2=12+22+（-2）2=9，

||2=（-2）2+02+（-3）2=13，•=1•（-2）+2•0+（-2）•（-3）=-2+6=4，

∴S△ABC==．

证明：（1）依题意，平面ABB1A1．

（2）以C为原点，射线CA、CB、CC1分别x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系

则．

∴，=（0，1，0）

设MN与所成的角为θ，，

故异面直线MN与B1C1所成角的大小为

（I）解：取AD中点O，连接PO，BO．如图所示．

∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD，

∴BO为PB在平面ABCD上的射影，

∴∠PBO为PB与平面ABCD所成的角．

由已知△ABD为等边三角形，∴PO=BO=，

∴PB与平面ABCD所成的角为45°．

（Ⅱ）证明：由菱形ABCD及∠BAD=60°可得△ABD是正三角形，∴AD⊥BO，∴AD⊥PB，

又PA=AB=2，N为PB中点，∴AN⊥PB，

∵AN∩AD=A，

∴PB⊥平面ADMN．

（Ⅲ）证明：连接ON，∵PB⊥平面ADMN，∴ON为PO在平面ADMN上的射影，

∵AD⊥PO，∴AD⊥NO，

故∠PON为所求二面角的平面角．

∵△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，∴∠PON=45°

COS∠PON=，

∴面PAD与ADMN平面所成锐二面角余弦值为．

（Ⅰ）证明：连接AC，BD交于点O，在四边形ABCD中，

∵AB=AD=4，

∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，

∴AC⊥BD

又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC

∴BD⊥平面PAC…（6分）

（Ⅱ）解：以O为原点，直线OA，OB分别为x轴，y轴，平面PAC内过O且垂直于直线AC的直线为z轴建立空间直角坐标系，可设点P（x，0，z）

又，B（0，2，0），，，

由PE=2，有，∴P（，0，）…（9分）

则有=（-，0，），

设平面PAB的法向量为，

由，可取=（1，，），…（12分）

又易取得平面ABC的法向量为（0，0，1），并设二面角P-AB-C的大小为θ，

∴cosθ=，∴θ=arccos

∴二面角P-AB-C的大小为arccos．…（14分）