热门试卷

解（1）AB=AD=2，BD=2，

AB2+AD2=BD2，AD⊥AB．

AD⊥AC，得AD⊥面ABC．

取AC中点F，连接BF，则BF⊥AC，

AD⊥BF，得BF⊥面ACE．

在RT△ACE 中，∠CAE+∠AEC=90°，

又△DAF≌△ACE，∠AFD=∠AEC，∴∠CAE+∠AFD=90°

得AE⊥FD，又FD是BD在面ACEF上的射影，

∴BD⊥AE．

（2）VE-ABD=VB-ADE，•h•S△ABD=•BE•S△ADE

即•h••2•2=••2

h=，求E点到平面ABD的距离为．

（3）延长AC交DE延长线于G，连接BG．

在△ABG中，BC=AC=CG，∴∠ABG=90°，即 AB⊥BG，

在△DBG中，DB=，ED=，BG2=BF2+FG2=3+9=12，DB2+BG2=DG2，∴∠DBG=90°，即DB⊥BG，

∴∠DBA即为平面ABC与平面BDE所成锐角二面角的平面角，∠DBA=45°．

平面ABC与平面BDE所成锐角二面角的大小为45°．

解：根据题意，分别以CA、CB、CC1为xyz轴，建立如图坐标系

可得C（0，0，0），A（，0，0），D（，，），B1（0，，）

∴=（0，-，-），=（-，，）

可得=，=2

cos＜，＞==-

∵直线B1C与AD所成的角的大小为直角或锐角

∴异面直线B1C与AD所成的角的余弦值是

故答案为：

（1）证明：取BD中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD

∵AO∩CO=O，

∴BD⊥平面AOC，

∵AC⊂平面AOC，

∴AC⊥BD；

（2）解：过O作OE⊥BC于E，连接AE，则AO⊥面BCD，∴AO⊥BC

∵OE∩AO=O，∴BC⊥面AEO

∴∠AEO为二面角A-BC-D的平面角

∵二面角A-BC-D的平面角的正切值为2

∴

∴OE=AO=CO

∴∠OCB=30°

∴∠BCD=60°

∴AO=CO=，BD=2

∴三棱锥A-BCD的体积为．

（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，

∴PA⊥BC．

又AB⊥BC，PA∩AB=A，

∴BC⊥平面PAB．

又BC⊂平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．…（4分）

（Ⅱ）证明：∵PC⊥AD，

∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，

∴∠DCA=∠BAC=，

又AC⊥AD，

故△DAC为等腰直角三角形，

∴DC=AC=（AB）=2AB．

连接BD，交AC于点M，则==2．

连接EM，在△BPD中，==2，∴PD∥EM，

又PD⊂/平面EAC，EM⊂平面EAC，

∴PD∥平面EAC．…（8分）

（Ⅲ）解：以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）

设=（x，y，1）为平面AEC的一个法向量，则⊥，⊥，

∵=（3，3，0），=（0，2，1），

∴解得x=，y=-，

∴=（，-，1）．

设=（x′，y′，1）为平面PBC的一个法向量，则⊥，⊥，

又=（3，0，0），=（0，-3，3），

∴，

解得x′=0，y′=1，

∴=（0，1，1）．

（取PB中点为F，连接AF可证为平面PBC的一个法向量．）

∵cos＜，＞=|=，

∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为..…（13分）

注：以其他方式建系的参照给分．

解：（Ⅰ）证明：因为四边形AA1C1C是菱形，所以有AA1=A1C1=C1C=CA=1．

从而知△AA1B是等边三角形．（2分）

设D是AA1的中点、连接BD，C1D，

则BD⊥AA1，由 =．

知C1到AA1的距离为 ．∠AA1C1=60°，

所以△AA1C1是等边三角形，（4分）

且C1D⊥AA1，所以AA1⊥平面BC1D．（6分）

又BC1⊂平面BC1D，故AA1⊥BC1．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C1O⊥AA1，BO⊥AA1

∵平面ABB1A1⊥平面AA1C1C，

∴BO⊥平面AA1C1C，C1O⊂平面AA1C1C

BO⊥C1O

∴OA、OC1、OB两两垂直，…（6分）

以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则：

O（0，0，0），A（0，，0），A1（0，-，0），B（0，0，），．…（7分）

设

是平面ABC的一个法向量，

则-，

令z=1，则．    …（9分）

设A1到平面ABC的距离为d．

，

∴d==．     …（10分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是．，…（11分）

又平面ACC1的一个法向量=（0，0，）．          …（12分）

∴cosθ==．          …（13分）

∴二面角B-AC-C1的余弦值是．               …（14分）

解：（1）连接AC，设AC∩EF=H，

由ABCD是正方形，AE=AF=4，

得H是EF的中点，

且EF⊥AH，EF⊥CH，

从而有A′H⊥EF，CH⊥EF，

∴EF⊥平面A′HC，

从而平面A′HC⊥平面ABCD，…（2分）

过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，

则A′O⊥平面ABCD．…（4分）

∵正方形ABCD的边长为6，AE=AF=4，

得到：，CH=4，

∴cos∠A′HC==，

∴HO=，，

∴五棱锥A′-BCDFE的体积V==．…（6分）

（2）由（1）得A′O⊥平面ABCD，且CO=3，即点O是AC，BD的交点，

如图以点O为原点，OA，OB，OA′所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，

则由题意知，B（0，3，0），C（-3，0，0），D（0，-3，0），

E（，2，0），F（，-2，0），，…（7分）

∴，，，，

设平面A′EF的法向量为=（x，y，z），

则，

取x=，得，…（9分）

设平面A′BC的法向量，

则，

令y1=1，得=（-1，1，），…（11分）

∴cos＜＞=0，即平面A′EF与平面A′BC夹角是．…（12分）

证明：（1）平面AQD与侧棱B1B的交点是R，

显然，在正方形ABB1A1中

由

所以AR⊥A1P，

又AA1⊥平面ABCD，AP⊥AD，得A1P⊥AD，

∴A1P⊥平面AQD

（2）设A1P与AR交于点S，连接SQ，则∠PQS=θ即为PQ与平面AQD所成角．

在Rt△PQS中，，∴，

即直线PQ与平面AQD所成角的正弦值是．

证明：（1）因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC，

所以AA1⊥平面ABC．（3分）

解：（2）由（1）知，AA1⊥AC，AA1⊥AB．

由题意知AB=3，BC=5，AC=4，

所以AB⊥AC．

如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，

则B（0，3，0），A1（0，0，4），B1（0，3，4），C1（4，0，4）．

设平面A1BC1的法向量为=（x，y，z），

则，即．

令z=3，则x=0，y=4，

所以．

同理可得，平面BC1B1的法向量为．

所以cos＜＞=．

由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为．

（3）由（2）知平面A1BC1的法向量为以，

所以点C到平面A1BC1距离．