- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知函数f(x)=
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若在[2，+∞）上至少存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．
正确答案
（I）∵f(x)=
由f′(x)=
由f′(x)=
函数f（x）的单调递增区间为：（-∞，0）和（1，+∞）
函数f（x）的单调递减区间为：（0，1）
（Ⅱ）考察反面情况：∀x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立
即h(x)=
首先h(2)=
其次，h′(x)=
∵M′(x)=
∴M(x)≥M(2)=
∴h（x）在x∈[2，+∞）上递增，又h（2）≥0
∴h(x)=
∴原题的结论为：a＞
设函数f（x）=
正确答案
∵f（x）=
∴g（x）=f（x）-ax=
∵g（x）=
∴g（-1）=g（1），即a-1=1-a-1=-a，
∴2a=1，
∴a=
故答案为：
已知f（x）=asin2x+btanx+1，且f（-2）=4，那么f（π+2）=______．
正确答案
f（-2）=asin（-4）+btan（-2）+1=4；
f（x）的最小正周期为π，故f（π+2）=f（2）=asin4+btan2+1=-3+1=-2
故答案为：-2．
设函数f（x）=（x2+1）（x+a）为奇函数，则a=______．
正确答案
因函数f（x）=（x2+1）（x+a）为奇函数，则f（0）=0，
∴f（0）=a=0
故答案为：0．
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x3+mx2+（1-m）x．
（I）当m=2时，求f（x）的解析式；
（II）设曲线y=f（x）在x=x0处的切线斜率为k，且对于任意的x0∈[-1，1]-1≤k≤9，求实数m的取值范围．
正确答案
（I）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．
当x＞0时，f（x）=2x3+mx2+（1-m）x．
当x＜0时，∵f（x）=-f（-x）∴f（x）=-（-2x3+mx2-（1-m）x）=2x3-mx2+（1-m）x∴f(x)=
当m=2时，∴f(x)=
（Ⅱ）由（I）得：∴f′(x)=
曲线y=f（x）在x=x0处的切线斜率，对任意的x0∈[-1，1]，总能不小于-1且不大于9，
则在任意x0∈[-1，1]时，-1≤f'（x）≤9恒成立，
∵f'（x）是偶函数
∴对任意x0∈（0，1]时，-1≤f'（x0）≤9恒成立
10当-
∴0≤m≤2
20当0＜-
∴
∴-6≤m＜0
30当-
∴-8≤m＜-6
综上：-8≤m≤2
∴实数m的取值范围是{m|-8≤m≤2}．
扫码查看完整答案与解析