- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知函数f(x)=(m2-3m+3)x1m2-1是幂函数．
（Ⅰ） 求m的值；
（Ⅱ） 判断函数f（x）的奇偶性．
正确答案
（Ⅰ）根据题意得
即
∴m=2．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f（x）=x13=
∵f（-x）=
∴f（x）在R上是奇函数．
函数f（x）=lg
正确答案
因为函数f（x）=lg
所以：f（-x）+f（x）=0⇒lg
∴a=±1，
当a=1时，f（x）=lg
当a=-1时，f（x）=lg
故答案为：-1．
定义：对函数y=f（x），对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+k）=f（x0）+f（k），则称函数f（x）为“k性质函数”．
（1）若函数f（x）=2x为“1性质函数”，求x0；
（2）判断函数f(x)=
（3）若函数f(x)=lg
正确答案
（本题满分（16分），第（1）小题（4分），第2小题（6分），第3小题6分）
（1）由f（x0+1）=f（x0）+f（1）得2x0+1=2x0+2，…（2分）
∴2x0=2，∴x0=1． …（4分）
（2）若存在x0满足条件，
则
∵△=k2-4k2=-3k2＜0，∴方程无实数根，与假设矛盾．
∴f(x)=
（3）由条件得：lg
即
化简得(a-5)
当a=5时，x0=-1； …（14分）
当a≠5时，由△≥0，
16a2-20（a-5）（a-1）≥0即a2-30a+25≤0，
∴15-10
综上，a∈[15-10
若函数f（x）=-4sin2x+4cosx+1-a，当x∈[-
正确答案
∵f（x）=-4sin2x+4cosx+1-a
=-4（1-cos2x）+4cosx+1-a
=4cos2x+4cosx-3-a
=4(cosx+
1
2
)2-4-a
又∵f（x）=0恒有解
∴0=4(cosx+
1
2
)2-4-a即4(cosx+
1
2
)2-4=a在x∈[-
由x∈[-
∴-4≤4(cosx+
1
2
)2-4≤5
∴-4≤a≤5
故答案为：[-4，5]
已知函数f（x）=axlnx图象上点（e，f（e））处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），g（x）=x2-tx-2．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）求函数f（x）在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；
（III）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．
正确答案
（I）由点（e，f（e））处的切线方程与直线2x-y=0平行，
得该切线斜率为2，即f'（e）=2．
又∵f'（x）=a（lnx+1），令a（lne+1）=2，a=1，
所以f（x）=xlnx．
（II）由（I）知f'（x）=lnx+1，
显然f'（x）=0时x=e-1当x∈(0，
所以函数f(x)在(0，
当x∈(
所以函数f（x）在(
①
②
因此f（x）min=f（n）=nlnn；
所以f(x)min=
（III）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
又g（x）=x2-tx-2，
∴3xlnx≥x2-tx-2，
即t≥x-3lnx-
设h(x)=x-3lnx-
则h′(x)=1-
由h'（x）=0得x=1或x=2，
∴x∈（0，1），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
x∈（1，2），h'（x）＞0，h（x）单调递减，
x∈（2，e），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）极大值=h（1）=-1，且h（e）=e-3-2e-1＜-1，
所以h（x）max=h（1）=-1．
因为对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
∴t≥h（x）max=-1．
故实数t的取值范围为[-1，+∞）．
扫码查看完整答案与解析