- 极坐标系
- 共815题
已知点M在曲线C1:ρsin(θ-)=
互上,点N在曲线C2:
(α为参数)上,则|MN|的最大值为______.
正确答案
曲线C1:ρsin(θ-)=
,化为
ρsinθ-
ρcosθ=
,∴y-x=2.
由曲线C2:(α为参数),化为(x-1)2+(y+1)2=4.其圆心(1,-1),半径r=2.
则圆心到直线C1的距离d==2
>r=2,
∴圆C2的点到直线的最大距离为d+r=2+2.
故答案为2+2.
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合,且两个坐标系的单位长度相等.已知直线的参数方程为,曲线C的极坐标方程为
.
(1)若直线的斜率为-1,求直线与曲线C交点的极坐标;
(2)若直线与曲线C相交的弦长为,求直线的参数方程;
(3)若,直线与曲线C相交于A、B,求
的值.
正确答案
(1);(2)
或
;(3)6.
(1)分别求出直线与圆的普通方程,然后求出交点再求极径和极角.
(2)根据点到直线的距离公式,再根据弦长可确定t的值,然后可求出直线的参数方程.
(3)把直线l的参数方程代入圆的普通方程之后,转化为关于t的一元二次方程.然后根据求值即可.
设M、N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin(θ+)=
上的动点,则M、N的最小距离是______.
正确答案
将原极坐标方程ρ+2sinθ=0,化为:
ρ2+2ρsinθ=0,
化成直角坐标方程为:x2+y2+2y=0,
即x2+(y+1)2=1.
将原极坐标方程ρsin(θ+)=
,化为:
ρsinθ+ρcosθ=1,
化成直角坐标方程为:x+y-1=0,
则M、N的最小距离=圆心到直线的距离-半径
=-1=
-1.
故填:-1.
直线l:(t为参数),圆C:ρ=2
cos(θ+
)(极轴与x轴的非负半轴重合,且单位长度相同),若直线l被圆C截得的弦长为
,则实数a的值为______.
正确答案
直线l:,由②得,t=-
-
,代入①得直线l的方程为x+2y+(2-a)=0,
由ρ=2cos(θ+
),得ρ=2
(cos
cosθ-sin
sinθ)=2
(
cosθ-
sinθ)=2cosθ-2sinθ.
ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ,所以圆的方程为x2+y2=2x-2y,即(x-1)2+(y+1)2=2,
所以圆心为(1,-1),半径r=.若直线l被圆C截得的弦长为
,
则圆心到直线的距离d==
=
,
又d==
=
,即|1-a|=1,
解得a=0或a=2.
故答案为0或2.
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程是
(t是参数), 以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,且直线
与圆C相切,求实数m的值.
正确答案
6或.
试题分析:把直线的参数方程消去参数
可得普通方程为
,把圆的极坐标方程
化为直角坐标方程为
,即
,利用圆心到直线的距离等于圆的半径可得
的值.
由,得
,所以
,即圆
的方程为
,
又由消
,得
,由直线
与圆
相切,
所以,即
或
10分
已知M=,α=
,试计算:M10α
选修4-4 参数方程与极坐标
过点P(-3,0)且倾斜角为30°直线和曲线 (t为参数)相交于A、B两点.求线段AB的长.
正确答案
(1)矩阵M的特征多项式为:f(λ)=λ2-λ-2=0,λ1=-1,λ2=2.
λ1=-1对应的一个特征向量为:=
,λ2=2对应的一个特征向量为:
=
.(4分)
设a=m +n
,即
=m
+n
,∴
解得
.(5分)
M10α=3(λ1)10+(-2)(λ2)10
=3(-1)10
+(-2)10
=
或
.
(2)直线的参数方程为 (s 为参数),曲线
可以化为 x2-y2=4.
将直线的参数方程代入上式,得 s2-6+ 10 = 0.
设A、B对应的参数分别为 s1,s2,∴s1+ s2= 6 ,s1•s2=10.
∴AB=|s1-s2|==2
.
在极坐标系中,点M(4,)到直线l:ρ(2cosθ+sinθ)=4的距离d=______.
正确答案
将原极坐标方程ρ(2cosθ+sinθ)=4,
化成直角坐标方程为:2x+y-4=0,
点M(4,)化成直角坐标方程为(2,2
).
∴点M到直线l的距离==
.
故填:.
(坐标系与参数方程选做题)以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是______.
正确答案
在对应的直角坐标系中,圆心的坐标为(cos1,sin1),圆的直角坐标方程为 (x-cos1)2+(y-sin1)2=1,
x2+y2-2xcos1-2ysin1=0,由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得 ρ2=2ρcos1cosθ+2ρsin1sinθ,
ρ=2(cos1cosθ+sin1sinθ )=2cos(θ-1),
故答案为:ρ=2cos(θ-1).
(坐标系与参数方程选做题) 以极坐标系中的点(1,)为圆心,1为半径的圆的方程是______.
正确答案
极坐标系中的点(1,)的直角坐标为(
,
),故圆的方程为 (x-
3
2
)2+(y-
1
2
)2= 1,
把x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入圆的方程得ρ2-ρcosθ-ρ sinθ=0,
故答案为ρ2-ρcosθ-ρ sinθ=0.
以直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴,已知点
的直角坐标为
,点
的极坐标为
,若直线
过点
,且倾斜角为
,圆
以
为 圆心、
为半径.
(1)求直线的参数方程和圆
的极坐标方程;
(2)试判定直线和圆
的位置关系.
正确答案
(1),
;(2)相离.
试题分析:(1)由若直线过点
,且倾斜角为
,
的直角坐标为
,可得直线
的参数方程,由圆
以
为 圆心、
为半径,
的极坐标为
可得圆
的极坐标方程;(2)先将直线
的参数方程,与圆的极坐标方程转化为平面直角坐标系下的方程,利用圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的关系.
试题解析:
解(1) -3分
-6分
(2),
-10分
-12分
扫码查看完整答案与解析