椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

· 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）

椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：简答题

简答题

已知双曲线C：-y2=1，P为C上的任意点．

（1）求双曲线C的渐近线方程；

（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．

正确答案

（1）双曲线C：-y2=1的渐近线方程-y2=0，即x-2y=0和x+2y=0．

（2）设P的坐标为（x，y），则

|PA|2=（x-3）2+y2=（x-3）2+-1=（x-）2+

∵|x|≥2，∴当x=时，|PA|2的最小值为，

即|PA|的最小值为．

题型：简答题

简答题

已知双曲线x2-y2=1及点A（，0）．

（1）求点A到双曲线一条渐近线的距离；

（2）已知点O为原点，点P在双曲线上，△POA为直角三角形，求点P的坐标．

正确答案

（1）双曲线的一条渐近线是x-y=0，

由点到直线距离公式，A点到一条渐近线的距离是 =；

（2）当∠OAP=90°，时，点P的横坐标为，代入双曲线x2-y2=1得：y=±，

∴点P的坐标（，±）．

当∠OPA=90°，时，点P的坐标为（x，y），

则有：（x-）2+y2=，与方程x2-y2=1联立得：

∴点P的坐标（2，±）．

题型：填空题

填空题

已知圆C以双曲线-y2=1的右焦点为圆心，并经过双曲线的左准线与渐近线的交点，则圆C的标准方程为______．

正确答案

由题意，双曲线方程中，a2=3，b2=1

∴c2=a2+b2=4

∴双曲线-y2=1的右焦点为（2，0），左准线方程为x=-，渐近线方程为y=±x

∴圆心C（2，0），双曲线的左准线与渐近线的交点坐标为(-，±)

∴圆的半径为=

∴圆C的标准方程为（x-2）2+y2=13

故答案为：（x-2）2+y2=13

题型：填空题

填空题

若圆（x-2）2+y2=2与双曲线-=1（α＞0，b＞0）的渐近线相切，则双曲线的离心率是______．

正确答案

双曲线的渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0

∵圆（x-2）2+y2=2与双曲线-=1（α＞0，b＞0）的渐近线相切，

∴=2

∴b=c

∴a2=b2+c2=2c2∴a=c

∴e==

故答案为：

题型：填空题

填空题

以点A（0，5）为圆心、双曲线-=1的渐近线为切线的圆的标准方程是 ______．

正确答案

双曲线的渐近线方程为：y=±x，点A到双曲线的渐近线的距离d=4，

所以圆的半径为4．故所求圆的标准方程为x2+（y-5）2=16．

答案：圆的标准方程是x2+（y-5）2=16．

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