热门试卷

设M（x，y）则P（2x-12，2y）

∵P在圆上运动

∴（2x-12）2+（2y）2=16 即（x-6）2+y2=4

∴线段PA的中点M的轨迹方程为（x-6）2+y2=4

（Ⅰ）设M（x，y），则D（-1，y），由中垂线的性质知|MD|=|MF2|

∴|x+1|=化简得C的方程为y2=4x（3分）

（另：由|MD|=|MF2|知曲线C是以x轴为对称轴，以F2为焦点，以l1为准线的抛物线

所以，=1，则动点M的轨迹C的方程为y2=4x）

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由知①

又由P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线C上知，②

由①②解得

所以有x1x2=1，y1y2=4（8分）

=（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-x1-x2+1+y1y2=6-(λ+)（10分）

设u=λ+，有u′=(λ+)′=1-＞0  ⇒  u=λ+在区间[2，3]上是增函数，

得≤λ+≤，进而有≤6-(λ+)≤，

所以，的取值范围是[，]（13分）

（1）设p（x，y）是曲线C上任意一点，

因为C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都等于1，

所以点p（x，y）满足-x=1(x＞0)．

化简得：y2=4x（x＞0）；

（2）设直线与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

设直线l的方程为x=ty-1

由，得y2-4ty+4=0，

得①

由FA⊥FB，得•=0

又=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)

所以•=0⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=0

即x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=0②

又x=，于是（2）等价于+y1y2-(+)+1=0．

+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1=0③

把①式代入③，整理得4t2=8，t=±．

满足△=16（t2-1）＞0．

∴直线l的斜率为±．

（ I）∵动圆和直线l：x=-相切，并且经过点F(，0)，

∴圆心θ到F(，0)的距离等于θ到定直线l：x=-的距离，都等于圆的半径…（2分）

根据抛物线的定义，可得：圆心θ的轨迹C就是以F为焦点，l为准线的抛物线，…（3分）

设抛物线方程为y2=2px，其中=，解得p=1

∴抛物线方程是y2=2x，即为所求轨迹C的方程．…（6分）

（ II）证明：设过点P（2，0）且斜率为k的直线的方程为

y=k（x-2）（k≠0）①…（7分）

代入y2=2x消去y，可得k2x2-2（k2+1）x+4k2=0．②…（8分）

由根与系数的关系，得x1x2==4．…（9分）

结合y12=2x1，y22=2x2，可得y1y2==2=4．…（10分）

∴•=x1x2+y1y2=4-4=0，

由此可得向量、夹角为90°，即OM⊥ON．…（12分）

①设P（x，y）是轨迹上任意一点，根据两点距离公式和点到直线距离公式，依题意有，==，化简得+=1．

②“圆与直线x=8相交于两点”当且仅当圆心M到直线x=8的距离小于圆的半径|MF|，|s-8|＜|MF|，

由①知|MF|=|s+8|，

所以|s-8|＜|s+8|，

又由①知-4≤s≤4，

所以8-s＜(s+8)，解得＜s≤4．

（1）当a＜0时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线；…（1分）

当a=0时，曲线C的轨迹是两条平行的直线x=1和x=-1；…（1分）

当0＜a＜1时，曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆；  …（1分）

当a=1时，曲线C的轨迹是圆 x2+y2=1；          …（1分）

当a＞1时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆．      …（1分）

（2）由，得（a+1）x2-2ax+a-1=0…①…（2分）

因为a≠-1，所以方程①为一元二次方程，△=4a2-4（a+1）（a-1）=4＞0，所以直线l与曲线C必有两个交点．       …（1分）

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1，x2为方程①的两根，所以x1+x2=，x1x2=，…（1分）

所以|MN|=|x1-x2|=×=，…（2分）

所以a2+2a-3=0，解得a=1或a=-3．   …（2分）

因此曲线C的方程为x2+y2=1或x2-3y2=1．   …（1分）

（1）设M（x，y），

∵在△AMB中，AB=4，|MA|+|MB|是定值；

可设|MA|+|MB|=2a（a＞0）．

∴cosAMB═

=-1．（3分）

而|MA|+|MB|≥2，

∴|MA|•|MB|≤a2．

∴-1≥-1

．∵cosAMB最小值为-，

∴-1=-．∴a=．（6分）

∴|MA|+|MB|=2＞|AB|．

∴M点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且a=，c=2．

∴b2=a2-c2=2．∴曲线C的方程是+=1．（8分）

（2）设直线l的方程是y=k（x-3）．

1°当k=0时，显然有|PQ|=|RS|；此时l的方程是y=0．

2°当k≠0时，∵|PQ|=|RS|，∴PS与RQ的中点重合，设中点为G，则OG⊥PS．

由，

得（1+3k2）x2-18k2x+27k2-6=0．（11分）

设P（x1，y1），S（x2，y2），

则x1+x2=，y1+y2=k（x1-3）+k（x2-3）=．

∴G（，）．

∴×k=-1无解，此时l不存在，

综上，存在一条直线l：y=0满足条件．（16分）

（1）设Q（x，y），A（x0，y0），则B（x0，0）．

∵=t+(1-t)

∴（x，y）=t（x0，y0）+（1-t）（x0，0）

∴x0= x，y0=

∵+=4，x2+=4

即轨迹E的方程为x2+ =4

（2）当t=时，轨迹E为椭圆，方程为+=1…①

设直线PD的方程为y=k（x-4）．代入①，并整理得

（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0…②

由题意得，必有△＞0，故方程②有两个不等实根．

设点P（x1，y1），R（x2，y2），则Q（x1，-y1）

由②知，x1+x2= ，x1x2=

直线RQ的方程为y-y2=(x-x2)

当k≠0时，令y=0，得x=x2-，将y1=k（x2-4），y2=k（x2-4）代入整理得

x=…③

再将x1+x2=，x1x2=代入③计算得，x=1即直线QR过定点（1，0）

当k=0时，y1=y2=0，直线QR过定点（1，0）

综上可得，直线QR与x轴交于定点，该定点的坐标为（1，0）．

（Ⅰ）由题意•=-，

整理得+y2=1，所以所求轨迹E的方程为+y2=1(y≠0)，

（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；

当直线l与x轴垂直时，l：x=1，此时M(1，)，N(1，-)，以MN为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为(1±，0)，不合题意；

当直线l与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线l：y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点Q(，k(-1))，

由消y得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，

由得

所以Q(，-)，

则线段MN的中垂线m的方程为：y+=-(x-)，

整理得直线m：y=-+，

则直线m与y轴的交点R(0，)，

注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，

当且仅当RM⊥RN，

即•=(x1，y1-)•(x2，y2-)=0，

x1x2+y1y2-(y1+y2)+=0，①

由②

将②代入①解得k=±1，即直线l的方程为y=±（x-1），

综上，所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．