热门试卷

（1）∵A（0，-2），B（0，4），P（x，y）

∴=(-x，-2-y)，=(-x，4-y)

∵•=y2-8

∴-x（-x）+（4-y）（-2-y）=y2-8

整理可得，x2=2y

（2）联立可得x2-2x-4=0

设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=2，x1x2=-4，

∴y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4=4

∵•=x1x2+y1y2=0

∴OC⊥OD

（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=|MN|，

∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，

∴（x-4）2+y2=42+x2，化为y2=8x．

（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.=8x1，=8x2．

∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴kPB=-kQB，

∴=-，∴=，化为8+y1y2=0．

直线PQ的方程为y-y1=(x-x1)，

∴y-y1=(x-x1)，化为y-y1=(x-)，

化为y(y2+y1)-y1(y2+y1)=8x-，

y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1，

∴直线PQ过 定点（1，0）

（1）设动点P的坐标为（x，y），由题设知：-1=|x|3′

化简得：x＞0时，y2=4x．

x＜0时，y=0

所以  P点的轨迹方程为y2=4x（x＞0）和y=0（x＜0）6′

（2）设B、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），又A（1，2）

∵∠BAC=90°，∴•=(x1-1，y1-2)•(x2-1，y2-2)=0

即（x1-1）（x2-1）+（y1-2）（y2-2）=0①

而BC的直线方程为（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1）②8′

∵B、C在抛物线y2=4x上，

∴x1=，x2=代入①式化简得-2（y1+y2）-y1y2=20③10′

把x1=，x2=代入②式化简得BC的方程为（y1+y2）y-y1y2=4x④12′

对比③④可知，直线BC过点（5，-2），

∴直线BC恒过一定点（5，-2）14′

（1）∵定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y），

M到点A的距离与M到直线l的距离之比为，

∴根据椭圆定义：M的轨迹为椭圆，

其中c=1，e==，

∴a=

∴b==2

∴则C1轨迹方程为：+=1．

（2）∵C1轨迹方程为：+=1，

∴C1的焦点为：（1，0），（-1，0），C1的顶点为：（，0），（-，0）

由题意可知：C2为双曲线

则a′=1，c'=，

则b′==2，

∴C2轨迹方程为：x2-=1．

（3）当直线m的斜率不存在时，m的方程为：x=，

它与C2：x2-=1交于P（，-4）和Q（，4），得到得弦|PQ|=8．

当直线m的斜率存在时，m的方程为y=k（x-），

联立方程组  ，消去y，

整理得(4-k2)x2+2k2x-5k2-4=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

∵弦|PQ|长度为8，∴=8，

解得k=±，

∴直线m的方程为x=或y=±（x-）．

（Ⅰ）∵A1、A2是双曲线的左、右顶点，∴A1（-2，0）A2（2，0）

∵MN是双曲线-=1的弦，且MN与x轴垂直，∴设M（x0，y0），则N（x0，-y0）

则直线MA1和NA2的方程分别为y=（x+2），y=（x-2）

联立两方程，解x0，y0，得 ，∵M（x0，y0）在双曲线上，代入双曲线方程，得

+=1，即直线MA1和NA2的交点的轨迹C的方程为+=1

（Ⅱ）联立得7x2-8x-8=0

由韦达定理得x1+x2=，x1x2=

A，B，P三点在+=1上，

知3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，

∵=λ+μ，∴P点坐标为（λ2x12+2λμx1x2+μ2x22，λ2y12+2λμy1y2+μ2y22）

∴3（λ2x12+2λμx1x2+μ2x22）+4（λ2y12+2λμy1y2+μ2y22）=12

又3x1x2+4y1y2=7x1x2-4(x1+x2)+4=-

∴λ2+μ2-λμ=1

∴λ2+μ2-λμ为定值，且定制为1．

（1）抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），

设抛物线解析式为y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2

∴抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）

（2）设M（x，y），P（x0，y0），F（1，0），M是PF的中点

则x0+1=2x，0+y0=2 y            

∴x0=2x-1，y0=2 y

∵P是抛物线上一动点，∴y02=4x0

∴（2y）2=4（2x-1），化简得，y2=2x-1．

∴M的轨迹方程为 y2=2x-1．

设点M（x，y）是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B，那么点M属于集合P={M||MA|-|MB|=2}．

由距离公式，点M适合的条件可表示为：-y=2①

将①式移项后再两边平方，得x2+（y-2）2=（y+2）2，

化简得：y=x2

因为曲线在x轴的上方，所以y＞0，虽然原点O的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程是y=x2（x≠0），它的图形是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图所示．

（1）设点M的坐标为（x，y），

∵kAM•kBM=-，∴•=-．

整理得，+y2=1(x≠0)；

（2）由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+2．

联立，得（2k2+1）x2+8kx+6=0．

由△=64k2-4×6（2k2+1）＞0，解得k2＞．

设E（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=．

S△OEF=S△OED-S△OFD=OD|x1|-OD|x2|=OD|x1-x2|=×2|x1-x2|=|x1-x2|

====．

令k2-=t(t＞0)，所以k2=t+(t＞0)．

则S△OEF===2=2≤2=．

所以S△OEF∈(0，]．

（1）设点P（x，y），由题意：|PA|=2|PB|得：=2，…（4分）

整理得到点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0…（7分）

（2）双曲线x2-=1的渐近线为y=±3x，…（9分）

解方程组，得交点坐标为(0，0)，(，)，(，-)…（13分）