热门试卷

（Ⅰ）根据抛物线的定义，

可得动圆圆心P的轨迹C的方程为x2=y（4分）

（Ⅱ）证明：设A（x1，x12），B（x2，x22），∵y=x2，

∴y′=2x，∴AN，BN的斜率分别

为2x1，2x2，故AN的方程为y-x12=2x1（x-x1），

BN的方程为y-x22=2x2（x-x2）（7分）

即，两式相减，得x=，

∴M，N的横坐标相等，于是MN⊥x轴（10分）

由题意可得已知圆的方程为x2+y2=4．

设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），

∵M是线段PP′的中点，

∴由中点坐标公式得x=x0，y=，

即x0=x，y0=2y．

∵P（x0，y0）在圆x2+y2=4上，

∴x02+y02=4 ①

将x0=x，y0=2y代入方程①得

x2+4y2=4，即+y2=1．

∴点M的轨迹是一个椭圆．

设C的坐标为（x，y），则

∵△ABC的两个顶点A（-a，0），B（a，0）（a＞0），直线AC的斜率与BC的斜率之积为负数m

∴×=m

∴+=1，（y≠0）

当m=-1时，轨迹是一个圆（除去与x轴的交点）；

当0＞m＞-1是焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）；

当m＜-1是焦点在y轴上的椭圆（除去与x轴的交点）．

（1）设P（x，y），则=（-1-x，-y），=（1-x，-y），=（-x，-y）．

∴•=（-1-x）（-x）+（-y）2=（x+1）（x-）2+y2，

•=（1-x）•（-x）+（-y）2=（x-1）（x-）+y2．

∴3[（x+1）（x-）+y2]+（x-1）（x-）+y2=0．

∴x2+y2=即为P点的轨迹方程．

（2）设存在，则cos∠F1PA=cos∠APF2．

∴=．

将条件3•=-•代入上式不成立．∴不存在．

（1）△APB中，由余弦定理得：AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|•|PB|•cos2θ=

|PA|2+|PB|2-2|PA|•|PB|•（1-2sin2θ）=|PA|2+|PB|2-2|PA|•|PB|+4|PA|•|PB|sin2θ 

=（|PA|-|PB|）2+8=16，∴||PA|-|PB||=2，故点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线，

且 c=2，a=，∴b=，故双曲线方程为  x2-y2=2．

（2）假设存在定点C（m，0），使得•为常数，当直线l斜率存在时，设直线l的方程为 y=k（x-2），

代入双曲线方程得 （1-k2） x2+4k2x-（4k2+2）=0，由题意知  k≠±1．

∴x1+x2=，x1•x2=．

∵•=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-2 ）（x2-2）

=（1+k2）x1•x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2=+ m2+ 2(1-2m) 为常数，与k无关，

∴m=1，此时，•=-1．

当当直线l斜率不存在时，M（2，2），N （2，-2），•=-1．

综上，存在定点C（1，0），使得•为常数．

（1）由得4x2-（x+1）2-4=0，即3x2-2x-5=0（*）

设方程（*）的解为x1，x2，则有x1+x2=，x1x2=-得，d=|x1-x2|===

（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y=kx+1，它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为P（x，y），

由得（4-k2）x2-2kx-5=0（*）

设方程（*）的解为x1，x2，则△=4k2+20（4-k2）＞0，

∴16k2＜80，|k|＜，且x1+x2=，x1x2=-，

∴x=(x1+x2)=，y=(y1+y2)=(x1+x2)+1=，

即，消去k得4x2-y2+y=0（y＜-4或y＞0）．

方法二：设弦的两个端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），弦中点为P（x，y），则

，两式相减得：4（x1+x2）（x1-x2）=（y1+y2）（y1-y2），

∴=，即=，即4x2-y2+y=0（y＜-4或y＞0）．

（1）由平几知识得：|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=＞|AB|=

∴动点P的轨迹是A、B为焦点的双曲线（部分）

设它的方程为-=1(x＞a)，则

解得：，故所求的方程为-=1(x＞)

（2）设直线3x-3my-2=0与动点P的轨迹相交于是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），

∵直线3x-3my-2=0恒过双曲线的焦点B

∴由双曲线定义知|Q1Q2|=e(x1+x2-)=2(x1+x2-)=2

∴x1+x2=

若m=0，则x1=x2=，此时x1+x2=，即|Q1Q2|=2合题意若m≠0，由，消去y得：9x2-3(-x)2=1，

化简得：（27m2-9）x2+12x-3m2-4=0，x1+x2==

解得m=0与m≠0矛盾．

∴m=0

（3）当x=时，|BP|=1，|BC|=1，此时∠PCB=45°，∠PBC=90°

猜想λ=2

当x≠时，设P（x，y）则{y^2}=-3(-x2)，且tan∠PCB=

∴tan2∠PCB=====

而tan∠PBC=-tan∠PBx==

∴tan2∠PCB=tan∠PBC

又∵0＜∠PBC＜π，0＜2＜PBC＜π

∴2∠PCB=∠PBC即存在λ=2，使得：∠PBC=λ∠PCB

设圆x2+y2-6x+5=0的圆心为C，则C的坐标是（3，0），由题意，CM⊥AB，则有kCMkAB=-1

∴×=-1（x≠3，x≠0）…（3分）

化简得x2+y2-3x=0（x≠3，x≠0）…（6分）

当x=3时，y=0，点（3，0）适合题意                     …（7分）

当x=0时，y=0，点（0，0）不适合题意                   …（8分）

解方程组得x=，y=±

∴点M的轨迹方程是x2+y2-3x=0（≤x≤3）           …（10分）

（1）设PQ中点M（x，y），则P（2x-4，2y），代入圆的方程得（x-2）2+y2=1．

（2）设R（x，y），由==，

设P（m，n），则有m=，n=，

代入x2+y2=4中，得

（x-）2+y2=（y≠0）．