热门试卷

双曲线-=1的右焦点为（5，0），设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），M（x，y），则，两式相减化简得=，，又AB的斜率为，∴=

（Ⅰ）由题意得 ，又a＞b＞0，解得  a2=5，b2=4．

因此所求椭圆的标准方程为    +=1．

（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k≠0），A（xA，yA）．

解方程组得=，=，

所以|OA|2=+=+=．

设M（x，y），由题意知|MO|=λ|OA|（λ≠0），

所以|MO|2=λ2|OA|2，即x2+y2=λ2，

因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为y=-x，即k=-，

因此x2+y2=λ2=λ2，

又x2+y2≠0，所以5x2+4y2=20λ2，故+=λ2．

又当k=0或不存在时，上式仍然成立．

综上所述，M的轨迹方程为+=λ2(λ≠0)．

（2）当k存在且k≠0时，由（1）得=，=，

由

解得=，=，

所以|OA|2=+=，|AB|2=4|OA|2=，|OM|2=．

由于=|AB|2•|OM|2=××=≥==()2，

当且仅当4+5k2=5+4k2时等号成立，即k=±1时等号成立，

此时△AMB面积的最小值是S△AMB=．

当k=0，S△AMB=×2×2=2＞．

当k不存在时，S△AMB=××4=2＞．

综上所述，△AMB的面积的最小值为．

（1）因为动圆M过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，

所以由抛物线定义知：圆心M的轨迹是以定点P（1，0）为焦点，定直线l：x=-1为准线的抛物线，

所以圆心M的轨迹方程为y2=4x------（4分）

（2）由题知，直线AB的方程为y=-(x-1)------（5分）

所以，可得3x2-10x+3=0，

∴x=或x=3．

∴A(，)，B(3，-2)------（6分）（或用弦长公式或用定义均可），

∴|AB|==---------（8分）

（Ⅰ）∵|PN|-|PM|=2＜|MN|=4，

∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

且a=1，c=2，b=．

∴轨迹W的方程为x2-

y

3

2=1(x≥1)．（4分）

（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-2）．

由得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0．（5分）

设A（x1，y1）．B（x2，y2），

则x1+x2=＞0，①

x1x2=＞0，②

△=16k4+4（3-k2）（4k2+3）＞0．③（8分）

由①②③解得k2＞3．（9分）

∵2=，

∴2（2-x1，-y1）=（x2-2，y2），

∴x2=6-2x1．代入①②，得=6-x1，=x1(6-2x1)．

消掉x1得k2=35，k=±．（11分）

∵M（2，0）为双曲线右支的焦点，离心率e=2．由双曲线的几何性质，

得|AB|=e(x1+x2)-2a=2×-2=．

设以AB为直径的圆的圆心为Q，Q到直线l的距离为d，

则d=-=．

∴d-=-=-＜0．

∴d＜，直线l与圆Q相交．（14分）

（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零

所以kPM•kPN=•=λ，整理得x2-=1（λ≠0，x≠±1）（4分）

（Ⅱ）①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）

②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）

③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）

④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）（12分）

由题意，设P（x0，y0），M（x，y），

∵=2，定点A（0，-1），

∴（x-x0，y-y0）=2（-x，-1-y），

∴x0=3x，y0=3y+2；

∵P是抛物线y=2x2-1上的动点，∴y0=2x02-1，

∴y=6x2-1．

故答案为：y=6x2-1．

（1）（1）由题意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2，

所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，…（2分）

即轨迹E的方程为+y2=1．…（4分）

（2）记A（x1，y1），B（x2，y2），

由题意，直线AB的斜率不可能为0，

故可设AB：x=my+1，

由，消x得：（4+m2）y2+2my-3=0，

所以…（7分）

S=|OP||y1-y2|==．…（9分）

由S=，解得m2=1，即m=±1．…（10分）

故直线AB的方程为x=±y+1，

即x+y-1=0或x-y-1=0为所求．…（12分）

设P（x，y），M（x0，y0），

又M0（-1，1），且P为线段M0M的中点，

所以，解得．

代入y2=2x得，4y2=2（2x+1），整理得y2=x+，

所以P点的轨迹方程是y2=x+，

是以(-，0)为顶点，以x轴为对称轴，开口向右的抛物线．

（1）=

化简可得（x+2）2+y2=4．

轨迹C是以（-2，0）为圆心，2为半径的圆（3分）

（2）设过点B的直线为y=k（x-2）．圆心到直线的距离d=≤2

∴-≤k≤，kmin=-（7分）

（3）假设存在，联立方程得2x2+2（m+2）x+m2=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2）则x1+x2=-m-2，x1x2=

PA⊥QA，∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=（x1+1）（x2+1）+（x1+m）（x2+m）=0，

2x1x2+（m+1）（x1+x2）+m2+1=0得m2-3m-1=0，

m=且满足△＞0．∴m=（12分）