- 综合法与分析法证明不等式
- 共468题
求证：
（1）如果a＞b，ab＞0，那么
（2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd．
正确答案
证明：（1）∵a＞b，ab＞0，∴
（2）∵c＜d＜0，
∴-c＞-d＞0．
又∵a＞b＞0，
∴-ac＞-bd，
∴ac＜bd．
解析
证明：（1）∵a＞b，ab＞0，∴
（2）∵c＜d＜0，
∴-c＞-d＞0．
又∵a＞b＞0，
∴-ac＞-bd，
∴ac＜bd．
已知a，b，c都是实数，求证：a2+b2+c2≥
正确答案
证明：∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2
∴3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2，
∴a2+b2+c2≥
解析
证明：∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2
∴3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2，
∴a2+b2+c2≥
已知a＞5，求证：
正确答案
证明：要证
只需证明：
只需证明：
显然成立，
所以a＞5，
解析
证明：要证
只需证明：
只需证明：
显然成立，
所以a＞5，
证明：lnx-
正确答案
证明：∵
∴要证lnx-
即证lnx-
设f（x）=lnx-
则f′（x）=
由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1，
∴x=1时，f（x）取得极大值，且为最大值f（1）=0，
即有f（x）=lnx-
即为lnx-
∴lnx-
解析
证明：∵
∴要证lnx-
即证lnx-
设f（x）=lnx-
则f′（x）=
由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1，
∴x=1时，f（x）取得极大值，且为最大值f（1）=0，
即有f（x）=lnx-
即为lnx-
∴lnx-
（2015春•淮安校级期末）用合适的方法证明下面两个问题：
（1）设a≥b＞0，求证：2a3-b3≥2ab2-a2b；
（2）设a＞0，b＞0，且a+b=10，求证：
正确答案
证明：2a3-b3-2ab2+a2b=2a（a2-b2）+b（a2-b2）=（a-b）（a+b）（2a+b），
∵a≥b＞0，∴a-b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，
从而：（a-b）（a+b）（2a+b）≥0，
∴2a3-b3≥2ab2-a2b．
（2））∵a＞0，b＞0，且a+b=10，
∴欲证
只需证（
只需证
只需证（1+3a）•（1+3b）≤256
只需证ab≤25．
∵10=a+b≥2
∴ab≤25，
∴
解析
证明：2a3-b3-2ab2+a2b=2a（a2-b2）+b（a2-b2）=（a-b）（a+b）（2a+b），
∵a≥b＞0，∴a-b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，
从而：（a-b）（a+b）（2a+b）≥0，
∴2a3-b3≥2ab2-a2b．
（2））∵a＞0，b＞0，且a+b=10，
∴欲证
只需证（
只需证
只需证（1+3a）•（1+3b）≤256
只需证ab≤25．
∵10=a+b≥2
∴ab≤25，
∴
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