- 综合法与分析法证明不等式
- 共468题
在△ABC中，求证sin2A+sin2B+sin2C≤
正确答案
证明：sin2A+sin2B+sin2C=
=
=
=2-[cos2C-cosCcos（A-B）]
=2-[cos2C-cosCcos（A-B）+
=2+
≤2+
解析
证明：sin2A+sin2B+sin2C=
=
=
=2-[cos2C-cosCcos（A-B）]
=2-[cos2C-cosCcos（A-B）+
=2+
≤2+
求证：当x＜2时，x3-6x2+12x-1＜7．
正确答案
证明：由x＜2，可得
x3-6x2+12x-1-7
=（x3-8）-（6x2-12x）
=（x-2）（x2+2x+4）-6x（x-2）
=（x-2）（x2-4x+4）=（x-2）3＜0，
则有x＜2时，x3-6x2+12x-1＜7．
解析
证明：由x＜2，可得
x3-6x2+12x-1-7
=（x3-8）-（6x2-12x）
=（x-2）（x2+2x+4）-6x（x-2）
=（x-2）（x2-4x+4）=（x-2）3＜0，
则有x＜2时，x3-6x2+12x-1＜7．
已知a＞b＞0，求证：
正确答案
证明：由于a+
=（a-b）（1+
因为a＞b＞0⇒ab＞0⇒ab+1＞0且a-b＞0，
所以（a-b）•
即a+
所以a＞b＞0时，
解析
证明：由于a+
=（a-b）（1+
因为a＞b＞0⇒ab＞0⇒ab+1＞0且a-b＞0，
所以（a-b）•
即a+
所以a＞b＞0时，
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明：ab+bc+ca≤
正确答案
证明：∵a，b，c均为正数，
∴a2+b2≥2ab，
a2+c2≥2ac，
b2+c2≥2bc，
以上三式累加得：2（a2+b2+c2）≥2（ab+ac+bc），
∴a2+b2+c2≥ab+ac+bc；①
又a+b+c=1，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）=1≥3（ab+bc+ca），
∴ab+bc+ca≤
解析
证明：∵a，b，c均为正数，
∴a2+b2≥2ab，
a2+c2≥2ac，
b2+c2≥2bc，
以上三式累加得：2（a2+b2+c2）≥2（ab+ac+bc），
∴a2+b2+c2≥ab+ac+bc；①
又a+b+c=1，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+ac+bc）=1≥3（ab+bc+ca），
∴ab+bc+ca≤
设a＞c＞0，求证：（a+c）2＜a（3a+c）．
正确答案
证明：要证（a+c）2＜a（3a+c），
只要证明（a+c）2＜3a2+ac，
即证a2+2ac+c2-ac-3a2＜0，
也就是证-2a2+ac+c2＜0，
即证2a2-ac-c2＞0，
也就是证（a-c）（2a+c）＞0．
∵a＞c＞0，
∴（a-c）（2a+c）＞0成立，
故原不等式成立．
解析
证明：要证（a+c）2＜a（3a+c），
只要证明（a+c）2＜3a2+ac，
即证a2+2ac+c2-ac-3a2＜0，
也就是证-2a2+ac+c2＜0，
即证2a2-ac-c2＞0，
也就是证（a-c）（2a+c）＞0．
∵a＞c＞0，
∴（a-c）（2a+c）＞0成立，
故原不等式成立．
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