- 综合法与分析法证明不等式
- 共468题
已知：a，b∈R+，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
正确答案
解析
证明：法一：（分析法）a3+b3＞a2b+ab2 成立，
只需证（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）成立．
又因为a＞0，故只需证a2-ab+b2＞ab成立，
而依题设a≠b，则（a-b）2＞0显然成立，由此命题得证．
法二：（综合法）∵a≠b，∴a-b≠0，
∴a2-2ab+b2＞0，∴a2-ab+b2＞ab（*）．
而a，b均为正数，∴a+b＞0，
∴（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b），
∴a3+b3＞a2b+ab2 成立．
已知a＞b＞c，求证：
正确答案
证明：∵a＞b＞c，
∴0＜a-b＜a-c，
∴（a-b）2＜（a-c）2，
∴
解析
证明：∵a＞b＞c，
∴0＜a-b＜a-c，
∴（a-b）2＜（a-c）2，
∴
已知a＞0且a≠1，证明：am+n+1＞am+an（m，n∈N+）．
正确答案
证明：∵a＞0且a≠1，m，n∈N+，
∴a＞1，am-1＞0，an-1＞0，0＜a＜1，am-1＜0，an-1＜0，
∴am+n+1-am-an=（am-1）（an-1）＞0，
∴am+n+1＞am+an（m，n∈N+）．
解析
证明：∵a＞0且a≠1，m，n∈N+，
∴a＞1，am-1＞0，an-1＞0，0＜a＜1，am-1＜0，an-1＜0，
∴am+n+1-am-an=（am-1）（an-1）＞0，
∴am+n+1＞am+an（m，n∈N+）．
设任意实数x，y满足|x|＜1，|y|＜1，求证：
正确答案
证明：设
∴
∵（1-x2）（1-y2）=1+x2y2-（x2+y2）≤1-xy，
∴
解析
证明：设
∴
∵（1-x2）（1-y2）=1+x2y2-（x2+y2）≤1-xy，
∴
已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1-1=an2（n∈N•）．记Sn=a1+a2+…+an．
求证：当n∈N•时，
（Ⅰ）an＜an+1；
（Ⅱ）Sn＞n-2．
（Ⅲ）Tn＜3．
正确答案
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当n=1时，因为a2是方程x2+x-1=0的正根，所以a1＜a2．
②假设当n=k（k∈N*）时，ak＜ak+1，
因为ak+12-ak2=（ak+22+ak+2-1）-（ak+12+ak+1-1）=（ak+2-ak+1）（ak+2+ak+1+1），
所以ak+1＜ak+2．
即当n=k+1时，an＜an+1也成立．
根据①和②，可知an＜an+1对任何n∈N*都成立．
（Ⅱ）证明：由ak+12+ak+1-1=ak2，k=1，2，…，n-1（n≥2），
得an2+（a2+a3+…+an）-（n-1）=a12．
因为a1=0，所以Sn=n-1-an2．
由an＜an+1及an+1=1+an2-2an+12＜1得an＜1，
所以Sn＞n-2．
（Ⅲ）证明：由
所以
故当n≥3时，
又因为T1＜T2＜T3，
所以Tn＜3．
解析
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当n=1时，因为a2是方程x2+x-1=0的正根，所以a1＜a2．
②假设当n=k（k∈N*）时，ak＜ak+1，
因为ak+12-ak2=（ak+22+ak+2-1）-（ak+12+ak+1-1）=（ak+2-ak+1）（ak+2+ak+1+1），
所以ak+1＜ak+2．
即当n=k+1时，an＜an+1也成立．
根据①和②，可知an＜an+1对任何n∈N*都成立．
（Ⅱ）证明：由ak+12+ak+1-1=ak2，k=1，2，…，n-1（n≥2），
得an2+（a2+a3+…+an）-（n-1）=a12．
因为a1=0，所以Sn=n-1-an2．
由an＜an+1及an+1=1+an2-2an+12＜1得an＜1，
所以Sn＞n-2．
（Ⅲ）证明：由
所以
故当n≥3时，
又因为T1＜T2＜T3，
所以Tn＜3．
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