- 计数原理
- 共11505题
已知甲、乙、丙等6人．
（1）这6人同时参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？
（2）这6人同时参加6项不同的活动，每项活动限1人参加，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？
（3）这6人同时参加4项不同的活动，求每项活动至少有1人参加的概率．
正确答案
（1）分别求出这6个人只去1个人、只去2个人、只去3个人、只去4个人、只去5个人，6的人全去的方法数，
分别为
故共有 
（2）所有的安排方法共有
甲参加第一项活动而且乙参加第三项活动的方法有
故甲不参加第一项活动且乙不参加第三项活动的不同的安排方法有 
（3）这6人同时参加4项不同的活动，每项活动至少有1人参加，若各项活动的人数为3、1、1、1时，有
若各项活动的人数为2、2、1、1，则有 
故满足条件的方法数为 （
而所有的安排方法共有 46 种，故每项活动至少有1人参加的概率为 
已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为______．（结果精确到0.001）
正确答案
所有的摸法共有
故从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 
故答案为 0.0381．
从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验．每位女同学能通过测验的概率均为
（I）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
（II）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．
正确答案
（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是从从中大位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验共有C中大3种结果，
满足条件的事件是选出的3位同学中至左有一位男同学，它的对立事件是选出的3位同学中没有男同学共有C63种结果，
∴根据古典概型的公式得到随机选出的3位同学中，至左有一位男同学的概率为中-
（Ⅱ）∵由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是从从中大位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验共有C中大3种结果，
中大位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中表示再从另外的八人中选一人，共有C八中种结果，
∴中大位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中的概率是
∴甲、乙被选中且能通过测验的概率为
一个盒子中装有大小相同的2个红球和n个白球，从中任取2个球．
（Ⅰ）若n=5，求取到的2个球恰好是一个红球和一个白球的概率；
（Ⅱ）若取到的2个球中至少有1个红球的概率为
正确答案
（Ⅰ）记“取到的2个球恰好是一个红球和一个白球”为事件A．…（1分）
∴P(A)=
（Ⅱ）记“取到的2个球中至少有1个红球”为事件B，…（5分）
由题意，得P(B)=1-P(
化简得3n2-11n-4=0，…（9分）
解得n=4，或n=-
故n=4．…（11分）
答：（1）若n=5，取到的2个球恰好是一个红球和一个白球的概率为
（2）n=4．…（12分）
若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为______．
正确答案
记甲、乙两人相邻而站为事件A
甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有
则甲、乙两人相邻而站的战法有
∴P(A)=
故答案为：
3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有数学教师，也有语文教师，则不同的分配方案共有______种．
正确答案
因为3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有数学教师，也有语文教师，
所以分配方案有第一所学校2位数学教师和1位语文教师，余者去另一所学校，
或者1位数学教师和2位语文教师，余者去另一所学校．
所以满足题意的方案共有：18．
故答案为：18．
将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有________．
正确答案
18
先放1、2的卡片有C31种，再将3,4,5,6的卡片平均分成两组再放置有
从集合{P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是______．（用数字作答）、
正确答案
各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），共有C42C102A44；每排中字母Q和数字0都出现有C31C91A44
符合题意不同排法种数是C42C102A44-C31C91A44=5832．
故答案为：5832
有6名男医生，4名女医生．
(1)选3名男医生，2名女医生，让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗，共有多少种不同方法？
(2)把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生，则有多少种不同分法？若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，又有多少种不同方案？
正确答案
(1)
试题分析：(1)本题中不仅要选出5名医生（元素），还要求分配到5个地区（空位），因此是一道“既选又排”的排列组合综合问题，解决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则。
（2）首先将分成以下两类情况第一类：一组中女医生1人，男医生4人，另一组中女医生3人，男医生2人；第二类：两组中人数都有女医生2人男医生3人；最后将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，是排列问题．
(1)分三步完成．
第一步：从6名男医生中选3名有
第二步：从4名女医生中选2名有
第三步：对选出的5人分配到5个地区有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有
(2)医生的选法有以下两类情况：
第一类：一组中女医生1人，男医生4人，另一组中女医生3人，男医生2人．共有
第二类：两组中人数都有女医生2人男医生3人．因为组与组之间无顺序，故共有
因此，把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生的不同的分法共有
若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，则共有
从5位男生4位女生中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，则不同的分派方法有________种．
正确答案
2 400
“从5位男生4位女生中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生”的情况为：2男2女、3男1女，则有
在一个圆周上给定十二个红点；求
正确答案
解：设红点集为：
同理知，过点
再说明，下界
于是红点三角形边长的刻度组
下面是刻度组的一种搭配：取
今构造如下：先作
三个，再用三个
（每种情况下的其余三角形都可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得）．
这样共得到
一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
正确答案
（1）将取出4个球分成三类情况：
1）取4个红球，没有白球，C44种；
2）取3个红球1个白球，C43C61种；
3）取2个红球2个白球，C42C62种，
∴C44+C43C61+C42C62=115种．
（2）设x个红球y个白球，
解得
∴符合题意的取法种数C43C61+C44C60=25种．
将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 种（用数字作答）。
正确答案
3960
使2个a既不同行也不同列的填法有C42A42=72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C42A42=72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种，其中不符合要求的有两种情况：2个a所在的方格内都填有b的情况有72种；2个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的情况有C161A92=16×72种。所以，符合题设条件的填法共有722−72−16×72=3960种。
由3位男生2位女生排成一排，
（1）所有不同排列的个数；
（2）恰有两个男生相邻的排列个数；
（3）男生不等高且从左到右的排列的顺序为由高到矮的排列的个数？
[结果全部用数字作答]．
正确答案
（1）由题意可得所有不同排列共
（2）间接法：一类，3个男生都相邻，把3个男生看做1个元素与2名女生全排列，
再对3名男生的位置作调整，共
另一类，3个男生均不相邻，先对3名男生全排列，再把2名女生插到中间的两个空隙，
共
从总的情形120中减掉（36+12）可得：120-48=72
（3）可看作给5个人排在5个位子，先从中选3个位置给男生，且由高到矮排列共
再把2名女生排在剩余的两个位子上共
从4名男生，3名女生中选出三名代表，
（1）不同的选法共有多少种？
（2）至少有一名女生的不同的选法共有多少种？
（3）代表中男、女生都有的不同的选法共有多少种？
正确答案
（1）根据题意，共有7人，要从中选出3名代表，共有选法
（2）至少有一名女生包括3种情况，
①、有1名女生、2名男生，有C31C42种情况，
②、有2名女生、1名男生，有C32C41种情况，
③、3名全是女生，有C33种情况，
则至少有一名女生的不同选法共有
（3）由（1）可得，从7人中选出3人的情况有C73种，
选出的3人都是男生的情况有C43种，
选出的3人是女生的情况有C33种，
则选出的3人中，男、女生都要有的不同的选法共有
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