热门试卷

（1）由题意C-153==-C173=-680   …（4分）

（2）性质①Cnm=Cnn-m不能推广，例如x=时，有定义，但无意义；

性质②Cnm+Cnm-1=Cn+1m 能推广，它的推广形式为Cxm+Cxm-1=Cx+1m，x∈R，m∈N*

证明如下：当m=1时，有Cx1+Cx0=x+1=Cx+11；   …（1分）

当m≥2时，有Cxm+Cxm-1=+=×(+1)==Cx+1m，（6分）

（3）由题意，x∈Z，m是正整数时

当x≥m时，组合数Cxm∈z成立；

当0≤x＜m 时，==0∈Z，结论也成立；

当x＜0时，因为-x+m-1＞0，∴Cxm==（-1）m=（-1）mC-x+m-1m∈z（7分）

综上所述当x∈Z，m是正整数时，Cxm∈Z

由于每队至少抽1辆，先从每队抽一辆车，则问题转化为从7个车队中抽3辆车，

分类讨论．

①3辆车都从1个队抽，有C71种；

②3辆车从2个队抽，有A72种；

③3辆车从3个队抽，有C73种．

综上所述，共有C71+A72+C73=84种．

（1）由题意知，本题是一个分类计数原理，

第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，

组成没有重复数字的四位数的个数为C32A44=72

第二类：取0，此时2和4只能取一个，0还有可能排在首位，

组成没有重复数字的四位数的个数为C32C21[A44-A33]=108

∴组成没有重复数字的四位数的个数为108+72=180

（2）符合要求的四位偶数可分为三类：0在个位，2在个位，4在个位．

当0在个位时，在2，4中选一个，在1，3，5中选2个共有C21C32A33=72，

当个位是2时，当另一个偶数选0，三个奇数选2个，共有C32×2A22=12

当个位是4时，也有12种结果，

∴共有72+12+12=96种结果，

答：可组成无重复数字的四位数180个，可组成无重复数字的四位偶数96个．

（Ⅰ）因为fn（x）=（1+x）n，

所以f2011（x）=（1+x）2011，

又f2011（x）=a0+a1x+…+a2011x2011，

所以f2011（1）=a0+a1+…+a2011=22011（1）

f2011（-1）=a0-a1+…+a2010-a2011=0（2）

（1）-（2）得：2（a1+a3+…+a2009+a2011）=22011

所以：a1+a3+…+a2009+a2011=f2011（1）=22010（2分）

（Ⅱ）因为g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），

所以g（x）=（1+x）6+2（1+x）7+3（1+x）8

g（x）中含x6项的系数为1+2×C76+3C86=99（4分）

（Ⅲ）设h（x）=（1+x）m+2（1+x）m+1+…+n（1+x）m+n-1（1）

则函数h（x）中含xm项的系数为Cmm+2×Cm+1m+…+nCm+n-1m（7分）

（1+x）h（x）=（1+x）m+1+2（1+x）m+2++n（1+x）m+n（2）

（1）-（2）得-xh（x）=（1+x）m+（1+x）m+1+（1+x）m+2++（1+x）m+n-1-n（1+x）m+n-xh(x)=-n(1+x)m+n

x2h（x）=（1+x）m-（1+x）m+n+nx（1+x）m+n

h（x）中含xm项的系数，即是等式左边含xm+2项的系数，

等式右边含xm+2项的系数为-Cm+nm+2+nCm+nm+1

=

所以Cmm+2×Cm+1m+…+nCm+n-1m=（13分）

（1）可知首位数字为2，3，4即可，故大于20000的五位数的个数为=72-------（6分）

（2）首先当0可以在首位时的所有方法数是：=72，

若0在首位且2，4相邻时的方法数是：=8，

若0在首位且0与2或4相邻时的方法数是：2=8，

故三个偶数数字0，2，4有且只有两个相邻的五位数的个数是：72-8-8=56---------（12分）

（1）由1、2、3、4、5五个数字共可以组成54=625个

（2）千位数为=5，其它位置为=60，共300个没有重复数字的四位数．

（3）比3401小的数有：①1□□□=60个；②2□□□=60个；

③30□□=12个；④31□□=12个；⑤32□□=12个；

共156个．所以3401是第157个数．

（Ⅰ）n=3时，排列a1，a2，a3的所有可能为1，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1；…（2分）

τ（1，2，3）=2；τ（1，3，2）=3；τ（2，1，3）=3；

τ（2，3，1）=3；τ（3，1，2）=3；τ（3，2，1）=2．…（4分）

（Ⅱ）τ（a1，a2，…，a10）=|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a9-a10|

上式转化为±a1±a2±a2±a3±…±a9±a10，

在上述18个±中，有9个选正号，9个选负号，其中a1，a10出现一次，a2，a3，…，a9各出现两次．…（6分）

所以τ（a1，a2，…，a10）可以表示为9个数的和减去9个数的和的形式，

若使τ（a1，a2，…，a10）最大，应使第一个和最大，第二个和最小．

所以τ（a1，a2，…，a10）最大为：（10+10+9+9+8+8+7+7+6）-（1+1+2+2+3+3+4+4+5）=49．…（8分）

所对应的一个排列为：5，7，1，8，2，9，3，10，4，6．（其他正确的排列同等给分） …（9分）

（Ⅲ）不可以．

例如排列10，9，8，7，1，2，3，4，5，6，除调整1，2外，其它调整都将使波动强度增加，

调整1，2波动强度不变．…（11分）

所以只能将排列10，9，8，7，1，2，3，4，5，6调整为排列10，9，8，7，2，1，3，4，5，6．

对于排列10，9，8，7，2，1，3，4，5，6，仍然是除调整2，1外，其它调整都将使波动强度增加，所以仍只能调整1，2两个数字．

如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为9．…（13分）

（1）可分两步完成：第一步，先选r，因r＞0，则r有A81种选法，第二步再选a，b，在剩余8个数中任取2个，有A82种选法，

所以由分步计数原理可得有A81．A82=448个不同的圆，，

（2）圆（x-a）2+（y-b）2=r2经过原点，a、b、r满足a2+b2=r2，

满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组，考虑a、b的顺序，有A22种情况，

所以符合题意的圆有2A22=4，

（3）圆心在直线x+y-10=0上，即满足a+b=10，则满足条件的a、b有三组：0，10；3，7；4，6．

当a、b取10、0时，r有7种情况，

当a、b取3、7；4、6时，r不可取0，有6种情况，

考虑a、b的顺序，有A22种情况，

所以满足题意的圆共有A22．A71+2A22A61=38个

证明：（1）左边=k=k•=，

右边=n•=，

所以k=n；

（2）由题意得数列a0，a1，a2，…为等差数列，且公差为a1-a0≠0．

则p(x)=a0(1-x)n+a1x(1-x)n-1+a2x2(1-x)n-2+…+anxn=a0(1-x)n+[a0+(a1-a0)]x(1-x)n-1+…+[a0+n(a1-a0)]xn=a0[(1-x)n+x(1-x)n-1+…+xn]+(a1-a0)[x(1-x)n-1+2x2(1-x)n-2+…+nxn]=a0[(1-x)+x]n+(a1-a0)nx[(1-x)n-1+x(1-x)n-2+…+xn-1]=a0+(a1-a0)nx[x+(1-x)]n-1=a0+（a1-a0）nx，

所以对任意的正整数n，p（x）是关于x的一次式．

（1）①分两步计算，第一步，先从甲乙2个城市中选一个，有C21=2种不同的选法

第二步，从剩下的6个城市中任选5个城市，有C65=6种不同的选法

两步方法数相乘，共有2×6=12种不同的选法．

②不选出的城市再进行全排列，有12A66=8640条不同的路线．

（2）①分两类．第一类，甲乙两个城市之选一个，根据（1），有12种不同的选法，

第一类，甲乙两个城市都选，再从剩下的6个城市中选4个，有C64=15种选法

∴共有12+15=27种不同的选法

②不选出的城市再进行全排列，有27A66=19440条不同的路线．

（1）根据题意，末位数字可以为1、3、5，有A31种取法，

首位数字不能为0，有A41种取法，

其他4个数字，排在中间4位，有A44种排法，

则六位奇数共有A31A41A44=288（个）

（2）根据题意，6个数字排成一排，共有A66种排法，

数字5不在个位，5在个位的有A55种情况，

而0不能在首位，0在首位的有A55种情况，

其中，5在个位且0在首位，即其他4个数字，排在中间4位，有A44种排法，

则数字5不在个位的六位数共有A66-2A55+A44=504个，

（3）用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成没有重复数字的六位数，

0不在首位，则首位有A51种情况，其他5个位置有A55种情况，即可以组成A51A55个六位数，

其中，数字1和2相邻时的情况有A41A44A22种，即1、2相邻的六位数有A41A44A22个，

则数字1和2不相邻的六位数共有A51A55-A41A44A22=408个．

从装有n个白球，1个黑球，共n+1个球的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），

若直接取，由组合数公式可得，其有Cn+1m种取法；

同时，也可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，有Cnm种取法，另一类是，取出1个黑球，m-1个白球，Cn+1m种取法；即有Cnm+Cnm-1种取法；

则Cnm+Cnm-1=Cn+1m成立．