热门试卷

解：（1）A（0，3），设B，C的坐标分别为B（t，0），C（t-2，0）（-1≤t≤3），

　　则线段BC的中垂线方程为x=t-1，①

　　AB中点（），AB斜率为- （t≠0），

　　所以线段AB的中垂线方程为②

　　由①②消去t得：x2=6y-8（-2≤x≤2且x≠-1）③

   当x=-1时，t=0时，三角形外心P为（-1，3/2），适合③；

　　所以P点的轨迹为x2=6y-8（-2≤x≤2）；

（2）将y=x+b代入x2=6y-8得9y2+6（b-1）y+b2+8=0．

由y2=6y-8及-2≤x≤2，得≤x≤2．

所以方程①在区间[，2]有两个实根．

设f（x）=9y2+6（b-1）y+b2+8，则方程③在[，2]上有两个不等实根的充要条件是

解之得：-4≤b≤-3，

∵|y1-y2|===，

∴由弦长公式，得|EF|==，

又原点到直线的距离为d=，

∴=，

∵-4≤b≤-3，

∴，

∴当，即b=-4时，．

解：（1）由已知，椭圆方程可设为．

∵长轴长为，离心率，

∴．

所求椭圆方程为．

（2）因为直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，所以直线l的方程为y=x-1．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由得3y2+2y-1=0，解得．

∴．

（3）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，此时∠POQ小于90°，OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1）．

由可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．

∴．

∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1）

∴

因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形．

由得k2=2，

∴．

∴所求直线的方程为．

解：（1）设Q（x0，0）．∵F2（c，0），A（0，b），∴=（-c，b），=（x0，-b）

∵，∴-cx0-b2=0，故 x0=-，

又∵2+=0，∴F1为F2Q的中点，故-2c=-+c，即，b2=3c2=a2-c2，∴e==

（2）∵e==，∴a=2c，b=c，则F2（c，0），Q（-3c，0），A（0，c）

∴△AQF2的外接圆圆心（-c，0），半径r=|F2Q|=a=2c

∴=2c，解得c=1，∴a=2，b=

椭圆C的方程为

（3）设直线MN：x=my+1，代入，得，（3m2+4）y2+6my-9=0

设M（x1，y1），n（x2，y2），∴y1+y2=-，y1y2=-，

|y1-y2|==

∴S△PMN=|PF2|•|y1-y2|=，

令=λ≥，

∴S△PMN==≤=

∴△PMN面积的最大值为，此时，m=0

（Ⅰ）解：将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程（x-3）2+（y-1）2=3，

圆M的圆心为M（3，1），半径r=

由A（0，1），F（c，0）（c=），得直线AF：+y=1，即x+cy-c=0，

由直线AF与圆M相切，得=，∴c2=2

∴a2=c2+1=3，∴椭圆C的方程为C：+y2=1；

（Ⅱ）证明：∵•=0，∴AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，

由A（0，1）可设直线AP的方程为y=kx+1，则直线AQ的方程为y=-

将y=kx+1代入椭圆C的方程，整理得：（1+3k2）x2+6kx=0，

解得x=0或x=-，因此P的坐标为（-，-+1），

即P（-，）

将上式中的k换成-，得Q（，）

∴直线l的斜率为=

直线l的方程为y=（x-）+

化简得直线l的方程为y=x-，因此直线l过定点N（0，-）．

解：（1）∵F1、F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，

且离心率为，点A（-，）在椭圆C上．

∴，解得a2=2，b2=1．

∴椭圆C的方程为．…（6分）

（2）由题意知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m，

由，

消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，

△=（4km）2-4（2k2+1）（2m2-2）＞0，

设M（，，…（8分）

又kF2M=，，

由已知直线F2M与F2N的倾斜角互补，

得．

化简，得2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0，

∴

整理得m=-2k．…（10分）

直线MN的方程为y=k（x-2），

因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．…（12分）

解：（1）M（-2，0），N（2，0），设动点P的坐标为（x，y），所以H（0，y），

所以，…（3分）…（5分），

由条件，得y2-x2=4，又因为是等比，所以x2≠0，

所以，所求动点的轨迹方程y2-x2=4（x≠0）．…（7分）

（2）设直线l的方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程组得，∴．

∴．

∴，…（10分）

，…（12分）

直线RQ的方程为，

∴，

∴．…（15分）

解：（Ⅰ）直线EG过定点（3，0），设A（x1，y1），C（x2，y2），

直线AC的方程为x=my+1，代入抛物线C1的方程，得y2-4my-4=0，

则x1+x2=4m，x1x2=4m2+2，

∴AC的中点坐标为E（2m2+1，2m），

由AC⊥BD，得BD的中点坐标为G（+1，-），

令2m2+1=+1，得m2=1，此时2m2+1=+1=3，

故直线过点H（3，0），

当m2≠1时，kHE=，

同理kHG=，

∴kHE=kHG，

∴E，H，G三点共线，

故直线过定点H（3，0）；

（Ⅱ）设M（，yM），N（，yN），直线EG的方程为x=ty+3，代入抛物线方程可得y2-4ty-12=0，

∴yM+yN=4t，yMyN=-12，

∴|MN|2=（-）2+（yM-yN）2=16（t2+3）（t2+1）≥48，

∴|MN|，

当t=0，即直线EG垂直于x轴时，|MN|取得最小值4．

解：（Ⅰ）设点P（x0，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求导y′=，

因为直线PQ的斜率为1，所以=1且x0--=0，解得p=2，

所以抛物线C1 的方程为．

（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y-=（x-x0），即2x0x-2py-=0，

根据切线与圆切，得d=r，即=1，化简得，

由方程组，解得Q（，），

所以|PQ|=|xP-xQ|==，

点F（0，）到切线PQ的距离是d==，

所以=××=，

=，

而由知，4p2=，得|x0|＞2，

所以===

==+3≥2+3，当且仅当时取“=”号，即，此时，p=．

所以的最小值为2+3．

解：（Ⅰ）因为双曲线方程为，

所以双曲线的渐近线方程为y=．

因为两渐近线的夹角为60°且，所以∠POF=30°．

所以． 所以a=．

因为c=2，所以a2+b2=4，所以a=，b=1．

所以椭圆C的方程为．…（4分）

（Ⅱ）因为l⊥l1，所以直线l的方程为y=，其中c=．…（5分）

直线l2的方程为y=，联立直线l与l2的方程，解得点P（）．…（6分）

设=λ，则=．…（7分）

因为点F（c，0），设点A（x0，y0），则有（x0-c，y0）=λ（，）．

解得，y0=．…（8分）

因为点A（x0，y0）在椭圆上，

所以+=1．

即（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．

等式两边同除以a4，得（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2，e∈（0，1），

所以=-（2-e2+）+3≤=3-2=（）2．…（10分）

所以当2-e2=，即e=时，λ取得最大值．

故的最大值为．…（12分）