- 导数在研究函数中的应用
- 共21题
已知函数f（x）=alnx+
（Ⅰ）当a=1，b=0时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）当b=1时，设α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]（其中e为自然对数的底数）．求证：对任意的x1，x2∈[α，β]，|f（x1）-f（x2）|＜1．
正确答案
（Ⅰ）解：当a=1，b=0时，f（x）=lnx-x（x＞0），
导数f′（x）=
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴x=1时，函数取极大值，也为最大值，且为-1；
（Ⅱ）证明：当b=1时，f（x）=alnx+
导数f′（x）=
∵α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a，（1＜a≤e），
∴当1＜x＜a时，f′（x）＜0，即函数f（x）递减，
当x＞a或0＜x＜1，f′（x）＞0，即函数f（x）递增，
∵任意的x1，x2∈[α，β]，则函数f（x）在该区间内是减函数，
∴f（1）最大且为
∴|f（x1）-f（x2）|≤f（1）-f（a）=
=
令g（x）=
则g′（x）=x-1-lnx，g′（1）=0，g′（e）=e-1-1＞0，
∴g（x）在（1，e]上递增，
故g（x）≤
而
∴|f（x1）-f（x2）|＜1．
解析
（Ⅰ）解：当a=1，b=0时，f（x）=lnx-x（x＞0），
导数f′（x）=
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴x=1时，函数取极大值，也为最大值，且为-1；
（Ⅱ）证明：当b=1时，f（x）=alnx+
导数f′（x）=
∵α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a，（1＜a≤e），
∴当1＜x＜a时，f′（x）＜0，即函数f（x）递减，
当x＞a或0＜x＜1，f′（x）＞0，即函数f（x）递增，
∵任意的x1，x2∈[α，β]，则函数f（x）在该区间内是减函数，
∴f（1）最大且为
∴|f（x1）-f（x2）|≤f（1）-f（a）=
=
令g（x）=
则g′（x）=x-1-lnx，g′（1）=0，g′（e）=e-1-1＞0，
∴g（x）在（1，e]上递增，
故g（x）≤
而
∴|f（x1）-f（x2）|＜1．
（文）某种新型快艇在某海域匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
（I）当快艇以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当快艇以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少约为多少升？（精确到0.1升）．
正确答案
解：（I）当x=40时，快艇从甲地到乙地行驶了
耗油量：
答：当快艇以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油10升．
（II）当速度为x千米/小时时，快艇从甲地到乙地行驶了
设耗油量为h（x）升，依题意得
令h‘（x）=0，得x=60，
当x∈（0，60）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈（60，120]时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴当x=60时，
答：当快艇以60千米/小时的速度行驶时，耗油最少，最少约为8.7升．
解析
解：（I）当x=40时，快艇从甲地到乙地行驶了
耗油量：
答：当快艇以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油10升．
（II）当速度为x千米/小时时，快艇从甲地到乙地行驶了
设耗油量为h（x）升，依题意得
令h‘（x）=0，得x=60，
当x∈（0，60）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈（60，120]时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴当x=60时，
答：当快艇以60千米/小时的速度行驶时，耗油最少，最少约为8.7升．
已知自由下落物体的速度为V=gt，则物体从t=0到t0所走过的路程为______．
正确答案
解析
解：物体从t=0到t0所走过的路程
故答案为：
有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s=s（t）=5-
A
B2m/s
C
D
正确答案
解析
解：v=s′=
当t=1时，v=
∴当t=1s时，梯子上端下滑的速度为
故选A．
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若函数g（x）=
正确答案
解析
解：由题意，令h（x）=
则h′（x）=x2-x+3，∴h″（x）=2x-1，
令h″（x）=0，可得x=
∴h（
∴h（x）+h（1-x）=2
∵m（x）=
∴m（x）+m（1-x）=0
∵g（x）=h（x）+m（x）
∴g（x）+g（1-x）=h（x）+h（1-x）+m（x）+m（1-x）=2
∴
故选A．
质量为10kg的物体按s（t）=3t2+t+4m的规律作直线运动，则物体在运动4s时的瞬时速度是______．
正确答案
25 m/s
解析
解：求导函数可得：s′（t）=6t+1
∴t=4时，s′（4）=6×4+1=25
即物体在运动4s时的瞬时速度是25 m/s
故答案为：25 m/s
物体的运动方程是
正确答案
21
解析
解：∵v=s′=t2+4t，∴v（3）=32+4×3=21．
故答案为21•
设点B在点A的正东方向60cm处，现在A、B两点同时开始运动，A以15cm/s的速度向东，B以10cm/s的速度向北做匀速直线运动，求变动的AB连线长在第2秒末的速率．
正确答案
则AB连线长的变动速率即为|AB'|对t的导数．
|AB'|=S=
AB'连线长的变动速度
=
=
t=2时，
解析
则AB连线长的变动速率即为|AB'|对t的导数．
|AB'|=S=
AB'连线长的变动速度
=
=
t=2时，
水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．
正确答案
又V=
由图知
∴r=
∴V=
∴20t=
∴h=
于是h′=
当h=10时，t=
此时h′=
∴当h=10米时，水面上升速度为
解析
又V=
由图知
∴r=
∴V=
∴20t=
∴h=
于是h′=
当h=10时，t=
此时h′=
∴当h=10米时，水面上升速度为
正确答案
由图知
又由题设条件知，此时的水量为20t
故有20t=
h‘=
又当h=4时，有t=
当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是
解析
由图知
又由题设条件知，此时的水量为20t
故有20t=
h‘=
又当h=4时，有t=
当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是
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