- 平面的法向量
- 共243题
在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值.
正确答案
(1)详见解析;(2)平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值为.
试题分析:(1)求证:平面
;利用线面平行的判定定理,证明线面平行,即证线线平行,可利用三角形的中位线,或平行四边形的对边平行,本题由于
是
的中点,可连接
交
与点
,连接
,利用三角形中位线的性质,证明线线平行即可;(2)求平面
与平面
夹角的余弦值,取
中点
,则
平面
,则
两两垂直,以
分别为
轴建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,求出平面
的法向量、平面
的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解.
试题解析:(1)连接AB1交A1B与点E,连接DE,则B1C∥DE,则B1C∥平面A1BD4分
(2)取A1C1中点F,D为AC中点,则DF⊥平面ABC,
又AB=BC,∴BD⊥AC,∴DF、DC、DB两两垂直,
建立如图所示空间直线坐标系D-xyz,则D(0,0,0), B(0,,0),A1(-1,0,3)
设平面A1BD的一个法向量为,
取,则
,
8分
设平面A1DB与平面DBB1夹角的夹角为θ,平面DBB1的一个法向量为, 10分
则
∴平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值为. 12分
如图,三棱锥P—ABC中,平面PAC⊥平面BAC,AP=AB=AC=2,∠BAC=∠PAC=120°。
(I)求棱PB的长;
(II)求二面角P—AB—C的大小。
正确答案
(I)(II)
试题分析:(I)如图1,作PO⊥AC,垂足为O,连结OB,
由已知得,△POC≌△BOC,则BO⊥AC。
,
∵平面PAC⊥平面BAC,∴PO⊥平面BAC,∴PO⊥OB,
(II)方法1:如图1,作OD⊥AB,垂足为D,连结PD,由三垂线定理得,PD⊥AB。
则∠PDO为二面角P—AB—C的平面角的补角。
二面角P—AB—C的大小为
方法2:如图2,分别以OB,OC,OP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系
O—xyz,则
令
又为面ABC的法向量。
易知二面角P—AB—C的平面角为钝角,
故二面角P—AB—C的大小为
点评:第二问求二面角分别用了几何法(作出二面角平面角,计算大小)和向量法(建立坐标系,写出相关点的坐标,找到两面的法向量,通过法向量的夹角找到二面角)
如图,在四棱锥中,底面
是边长为
的菱形,
,
底面
,
,
为
的中点,
为
的中点.
(Ⅰ)证明:直线平面
;
(Ⅱ)求异面直线与
所成角的大小;
正确答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)异面直线与
所成角为
.
试题分析:(Ⅰ)证明:直线平面
,证明线面平行,首先证明线线平行,可用三角形的中位线平行,也可用平行四边形的对边平行,本题虽有中点,但没直接的三角形,可考虑用平行四边形的对边平行,可取OD的中点G,连结CG,MG,证明四边形
为平行四边形即可,也可取
中点
,连接
,
,利用面面平行则线面平行,证平面
平面
即可.也可利用向量法,作
于点P,如图,分别以
,所在直线为
轴建立坐标系,利用向量
与平面
的法向量垂直,即数量积等于零;(Ⅱ)求异面直线
与
所成角的大小,分别写出异面直线
与
对应向量的坐标,由向量的夹角公式即可求出.
试题解析:方法一(综合法)
(Ⅰ)取中点
,连接
,
又
(Ⅱ)
为异面直线
与
所成的角(或其补角),
作连接
,
,
,
,
,
,
所以 与
所成角的大小为
方法二(向量法)
作于点P,如图,分别以
,所在直线为
轴建立坐标系.
,
,
(Ⅰ),
设平面的法向量为
,则
即 , 取
,解得
.
.
(Ⅱ)设与
所成的角为
,
,
, 即
与
所成角的大小为
.
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分别为AB、AC中点.
(Ⅰ)求证:DE∥平面PBC;
(Ⅱ)求证:AB⊥PE;
(Ⅲ)求二面角A-PB-E的大小.
正确答案
(Ⅰ)由D、E分别为AB、AC中点,得DE∥BC .可得DE∥平面PBC
(Ⅱ)连结PD,由PA=PB,得PD ⊥ AB. DE∥BC,BC ⊥ AB,推出DE ⊥ AB.
AB⊥平面PDE,得到AB⊥PE .
(Ⅲ)证得PD平面ABC 。
以D为原点建立空间直角坐标系。
二面角的A-PB-E的大小为.
试题分析:(Ⅰ)D、E分别为AB、AC中点,\DE∥BC .
DEË平面PBC,BCÌ平面PBC,∴DE∥平面PBC
(Ⅱ)连结PD, PA=PB, PD ⊥ AB. DE∥BC,BC ⊥ AB,
DE ⊥ AB.又
AB⊥平面PDE,PEÌ平面PDE,
AB⊥PE . 6分
(Ⅲ)平面PAB平面ABC,平面PAB
平面ABC=AB,PD
AB,
PD
平面ABC. 7分
如图,以D为原点建立空间直角坐标系
B(1,0,0),P(0,0,
),E(0,
,0) ,
=(1,0,
),
="(0,"
,
).
设平面PBE的法向量,
令 得
.
DE⊥平面PAB,平面PAB的法向量为
.
设二面角的A-PB-E大小为
由图知,,
,
二面角的A-PB-E的大小为.
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,本题利用空间向量,简化了证明及计算过程。
已知,
且
,则
的值为
正确答案
-4
试题分析:由于,
且
所以
即
.所以
所以
.故填-4.本小题考查空间向量的平行,根据两个向量的坐标对应成比例即可得结论.区别对待平面内向量的平行.
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