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题型:简答题
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简答题

在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.

(1)求证:B1C∥平面A1BD;

(2)求平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值.

正确答案

(1)详见解析;(2)平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值为

试题分析:(1)求证:平面;利用线面平行的判定定理,证明线面平行,即证线线平行,可利用三角形的中位线,或平行四边形的对边平行,本题由于的中点,可连接与点,连接,利用三角形中位线的性质,证明线线平行即可;(2)求平面与平面夹角的余弦值,取中点,则平面,则两两垂直,以分别为轴建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,求出平面的法向量、平面的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解.

试题解析:(1)连接AB1交A1B与点E,连接DE,则B1C∥DE,则B1C∥平面A1BD4分

(2)取A1C1中点F,D为AC中点,则DF⊥平面ABC,

又AB=BC,∴BD⊥AC,∴DF、DC、DB两两垂直,

建立如图所示空间直线坐标系D-xyz,则D(0,0,0), B(0,,0),A1(-1,0,3)

设平面A1BD的一个法向量为,

,则     8分

设平面A1DB与平面DBB1夹角的夹角为θ,平面DBB1的一个法向量为,         10分

∴平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值为.    12分

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题型:简答题
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简答题

如图,三棱锥P—ABC中,平面PAC⊥平面BAC,AP=AB=AC=2,∠BAC=∠PAC=120°。

(I)求棱PB的长;

(II)求二面角P—AB—C的大小。

正确答案

(I)(II)

试题分析:(I)如图1,作PO⊥AC,垂足为O,连结OB,

由已知得,△POC≌△BOC,则BO⊥AC。

 

∵平面PAC⊥平面BAC,∴PO⊥平面BAC,∴PO⊥OB,

 

(II)方法1:如图1,作OD⊥AB,垂足为D,连结PD,由三垂线定理得,PD⊥AB。

则∠PDO为二面角P—AB—C的平面角的补角。

二面角P—AB—C的大小为 

方法2:如图2,分别以OB,OC,OP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系

O—xyz,则

 

为面ABC的法向量。  

易知二面角P—AB—C的平面角为钝角,

故二面角P—AB—C的大小为 

点评:第二问求二面角分别用了几何法(作出二面角平面角,计算大小)和向量法(建立坐标系,写出相关点的坐标,找到两面的法向量,通过法向量的夹角找到二面角)

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题型:简答题
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简答题

如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,,底面, ,的中点,的中点.

(Ⅰ)证明:直线平面

(Ⅱ)求异面直线所成角的大小;

正确答案

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)异面直线所成角为

试题分析:(Ⅰ)证明:直线平面,证明线面平行,首先证明线线平行,可用三角形的中位线平行,也可用平行四边形的对边平行,本题虽有中点,但没直接的三角形,可考虑用平行四边形的对边平行,可取OD的中点G,连结CG,MG,证明四边形为平行四边形即可,也可取中点,连接,利用面面平行则线面平行,证平面平面即可.也可利用向量法,作于点P,如图,分别以,所在直线为轴建立坐标系,利用向量与平面的法向量垂直,即数量积等于零;(Ⅱ)求异面直线所成角的大小,分别写出异面直线对应向量的坐标,由向量的夹角公式即可求出.

试题解析:方法一(综合法)

(Ⅰ)取中点,连接   

        

(Ⅱ)

为异面直线所成的角(或其补角),

连接 , ,,,

,  

所以 所成角的大小为 

方法二(向量法)

于点P,如图,分别以,所在直线为轴建立坐标系.

,

,

(Ⅰ)

设平面的法向量为,则 

, 取,解得

..

(Ⅱ)设所成的角为, 

,   , 即所成角的大小为.

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题型:简答题
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简答题

如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分别为AB、AC中点.

(Ⅰ)求证:DE∥平面PBC;

(Ⅱ)求证:AB⊥PE;

(Ⅲ)求二面角A-PB-E的大小.

正确答案

(Ⅰ)由D、E分别为AB、AC中点,得DE∥BC .可得DE∥平面PBC    

(Ⅱ)连结PD,由PA=PB,得PD ⊥ AB. DE∥BC,BC ⊥ AB,推出DE ⊥ AB.

AB⊥平面PDE,得到AB⊥PE .

(Ⅲ)证得PD平面ABC 。

以D为原点建立空间直角坐标系。

二面角的A-PB-E的大小为

试题分析:(Ⅰ)D、E分别为AB、AC中点,\DE∥BC .

DEË平面PBC,BCÌ平面PBC,∴DE∥平面PBC    

(Ⅱ)连结PD, PA=PB, PD ⊥ AB. DE∥BC,BC ⊥ AB, DE ⊥ AB.又AB⊥平面PDE,PEÌ平面PDE,AB⊥PE .                      6分

(Ⅲ)平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PD  AB,

 PD平面ABC.           7分

如图,以D为原点建立空间直角坐标系

B(1,0,0),P(0,0,),E(0,,0) ,

 =(1,0, ), ="(0," , ).

设平面PBE的法向量

     得

DE⊥平面PAB,平面PAB的法向量为

设二面角的A-PB-E大小为

由图知,

二面角的A-PB-E的大小为

点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,本题利用空间向量,简化了证明及计算过程。

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题型:填空题
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填空题

已知,则的值为                

正确答案

-4

试题分析:由于所以.所以所以.故填-4.本小题考查空间向量的平行,根据两个向量的坐标对应成比例即可得结论.区别对待平面内向量的平行.

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