- 直线的倾斜角与斜率
- 共1491题
给出下列四个结论：
①命题''∃x∈R，x2-x＞0''的否定是''∀x∈R，x2-x≤0''
②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；
③已知直线l1：ax+2y-1=0，l1：x+by+2=0，则l1⊥l2的充要条件是
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0时，f'（x）＞0，g'（x）＞0，则x＜0时，f'（x）＞g'（x）．
其中正确结论的序号是______（填上所有正确结论的序号）
正确答案
①命题“∃x∈R，x2-x＞0”的否定是“∀x∈R，x2-x≤0”，此是一个正确命题；
②由于其逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故逆命题为真不正确；
③l1⊥l2时，a+2b=0，只有当b≠0时，结论成立，故不正确；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x），由于两个函数是一奇一偶，且在x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，故当x＜0，，f′（x）＞g′（x），成立，此命题是真命题．
综上①④是正确命题
故答案为①④
已知函数f（x）=ax4+bx2+cx+1（a，b，c∈R），在x=-1处取得极值-
（1）求常数a，b，c的值；
（2）对于函数h（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数h（x），g（x）的分界线，求函数f（x）与函数g（x）=-x2+2x+1的“分界线”方程．
正确答案
（1）f'（x）=4ax3+2bx+c，
由条件得到：
得到：
（2）依题意
令x=0，则1≥m≥1，所以m=1，（8分）
因此：kx+1≥-x2+2x+1恒成立，即x2+（k-2）x≥0恒成立，
由△≤0得到：k=2，（10分）
又因为：f(x)-(2x+1)=
所以：函数f（x）与函数g（x）=-x2+2x+1的分界线方程是y=2x+1．（12分）
设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f'（x）的最小值为-12。
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值。
正确答案
解：（1）∵
∴
即
∴
∵
∴
又直线
因此，
∴
（2）
∴
所以函数
∵
∴
已知曲线C：f（x）=3x2-1，C上的两点A，An的横坐标分别为2与an（n=1，2，3，…），a1=4，数列{xn}满足xn+1=
（I）建立xn与an的关系式；
（II）证明：{logt(xn-1)+1}是等比数列；
（III）当Dn+1⊈Dn对一切n∈N+恒成立时，求t的范围．
正确答案
（I）因为曲线在pn处的切线与AAn平行
∴6xn=
（Ⅱ）∵xn+1=
∴xn+1=
从而logt（xn+1-1）=1+2logt（xn-1）⇒logt（xn+1-1）+1=2[logt（xn-1）+1]
∴{logt（xn-1）+1}是一个公比为2的等比数列
（III）由（II）知：logt（xn-1）+1=（logt2+1）2n-1∴xn=1+
∴an+1＜an，∴(2t)2n＜(2t)2n-1
∴0＜2t＜1⇒0＜t＜
设有抛物线C：y=-x2+
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
正确答案
解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1=kx1，①
y1=-x12+
①代入②得x12+(k-
∵P为切点，
∴Δ=(k-
当k=
当k=
∵P在第一象限，
∴所求的斜率k=
(2)过P点作切线的垂线，其方程为y=-2x+5，③
将③代入抛物线方程得x2-
设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x2=9，
∴x2=
∴Q点的坐标为(
已知曲线y=
正确答案
对于y=
对于y=1+x3，有y′=3x2，k2=y′|x=x0=3x02．
又k1k2=-1，则x03=-1，
故x0=-1．
已知函数f(x)=alnx-
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=1，且x≥2时，证明：f（x-1）≤2x-5．
正确答案
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′(x)=
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，
所以f'（1）=a+1=2，
即a=1．
（Ⅱ）由于f′(x)=
当a≥0时，对于x∈（0，+∞），有f'（x）＞0在定义域上恒成立，
即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
当a＜0时，由f'（x）=0，得x=-
当x∈(0，-
当x∈(-
（Ⅲ）当a=1时，f(x-1)=ln(x-1)-
令g(x)=ln(x-1)-
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）单调递减．
又g（2）=0，所以g（x）在（2，+∞）恒为负．
所以当x∈[2，+∞）时，g（x）≤0．
即ln(x-1)-
故当a=1，且x≥2时，f（x-1）≤2x-5成立．
设函数f（x）=x3+ax2-9x-1（a＜0）．若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．
正确答案
（Ⅰ）因f（x）=x2+ax2-9x-1
所以f'（x）=3x2+2ax-9=3(x+
即当x=-
因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为-12，
所以-9-
解得a=±3，由题设a＜0，所以a=-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=-3，因此f（x）=x3-3x2-9x-1，f'（x）=3x2-6x-9=3（x-3（x+1）
令f'（x）=0，解得：x1=-1，x2=3．
当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上为增函数；
当x∈（-1，3）时，f'（x）＜0，故f（x）在（-1，3）上为减函数；
当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数．
由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞）；
单调递减区间为（-1，3）．
已知曲线y=
正确答案
解：对于y=
对于y=1+x3，有y′=3x2，k2=y′|x=x0=3x02，
又k1k2=-1，
则x03=-1，
∴x0=-1。
已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若方程f （x）=
（Ⅲ）设常数p≥1，数列{an}满足an+1=an+ln（p-an）（n∈N*），a1=lnp，求证：an+1≥an．
正确答案
（I）∵f′(x)=
∴f′(1)=
由题知
解得a=1．（3分）
（II）由（I）有f（x）=ln（1+x）-x，
∴原方程可整理为4ln（1+x）-x=m．
令g（x）=4ln（1+x）-x，得g′(x)=
∴当3＜x≤4时g'（x）＜0，当2≤x＜3时g'（x）＞0，g'（3）=0，
即g（x）在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，
∴在x=3时g（x）有最大值4ln4-3．（6分）
∵g（2）=4ln3-2，g（4）=4ln5-4，
∴g（2）-g（4）=4ln
由9e≈24.46＜25，于是2ln
∴g（2）＜g（4）．
∴m的取值范围为[4ln5-4，4ln4-3）．（9分）
（III）由f（x）=ln（1+x）-x（x＞-1）有f′(x)=
显然f'（0）=0，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（-1，0）上是增函数，在[0，+∞）上是减函数．
∴f（x）在（-1，+∞）上有最大值f（0），而f（0）=0，
∴当x∈（-1，+∞）时，f（x）≤0，因此ln（1+x）≤x．（*）（11分）
由已知有p＞an，即p-an＞0，所以p-an-1＞-1．
∵an+1-an=ln（p-an）=ln（1+p-1-an），
∴由（*）中结论可得an+1-an≤p-1-an，即an+1≤p-1（n∈N*）．
∴当n≥2时，an+1-an=ln（p-an）≥ln[p-（p-1）]=0，即an+1≥an．
当n=1，a2=a1+ln（p-lnp），
∵lnp=ln（1+p-1）≤p-1，
∴a2≥a1+ln[p-（p-1）]=a1，结论成立．
∴对n∈N*，an+1≥an．（14分）
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