- 牛顿运动定律
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当物体从高空下落时，所受阻力会随物体的速度增大而增大，因此经过下落一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的收尾速度。研究发现，在相同环境条件下，球形物体的收尾速度仅与球的半径和质量有关．下表是某次研究的实验数据
（1）根据表中的数据，求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比．
（2）根据表中的数据，归纳出球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系（写出有关表达式、并求出比例系数）．
（3）现将C号和D号小球用轻质细线连接，若它们在下落时所受阻力与单独下落时的规律相同．让它们同时从足够高的同一高度下落，试求出它们的收尾速度；并判断它们落地的顺序．
正确答案
（1） fB：fC＝1：9（2）
试题分析：（1）球在达到终极速度时为平衡状态，有
f ＝mg
则 fB：fC ＝mB ：mC
带入数据得 fB：fC＝1：9
（2）由表中A、B球的有关数据可得，阻力与速度成正比；即
由表中B、C球有关数据可得，阻力与球的半径的平方成正比，即
得
k＝4.9Ns/m3 （或k＝5Ns/m3）
（3）将C号和D号小球用细线连接后，其收尾速度应满足
即
代入数据得
比较C号和D号小球的质量和半径，可判断C球先落地
点评：此类问题通过图表隐藏信息，因此本题从图表中提取信息的能力十分关键。根据牛顿运动定律列出平衡关系式最后通过数学关系求解。
（13分）如图所示，AB为竖直半圆轨道的竖直直径，轨道半径R="0.5" m。轨道A端与水平面相切。光滑小球从水平面以初速度v0向A滑动，取g="10" m/s2。
(1)若小球经B点时，对轨道的压力恰好为零，求小球落在水平面时到A点的距离。
(2)若小球在B点的速度VB=4m/s，求小球经A点的瞬间对圆轨道的压力。
正确答案
① 1m；②31N
（13分）（1）由牛顿第二定律
小球经过B点方程为：
又
小球过B点后做平抛运动， 
可得s=1m --------------------------------------（1分）
（2）由机械能守恒：
小球经A点的瞬间：
得：NA=31N ----------------------------------（1分）
又由牛顿第三运动定律可知小球对轨道的压力
有一质量1kg小球串在长0.5m的轻杆顶部，轻杆与水平方向成θ＝37°，静止释放小球，经过0.5s小球到达轻杆底端，试求
（1）小球与轻杆之间的动摩擦因数
（2）在竖直平面内给小球
正确答案
（1）
（2）若F垂直杆向下
F＝8N
若F垂直杆向上
F＝24N
略
如图所示，水平轨道AB段为粗糙水平面，BC段为一水平传送带，两段相切于B点．一质量为m=1kg的物块（可视为质点），静止于A点，AB距离为s=2m．已知物块与AB段和BC段的动摩擦因数均为μ=0.5，g取10m/s2．
（1）若给物块施加一水平拉力F=11N，使物块从静止开始沿轨道向右运动，到达B点时撤去拉力，物块在传送带静止情况下刚好运动到C点，求传送带的长度；
（2）在（1）问中，若将传送带绕B点逆时针旋转37°后固定（AB段和BC段仍平滑连接），要使物块仍能到达C端，则在AB段对物块施加拉力F应至少多大；
（3）若使物块以初速度v0从A点开始向右运动，并仍滑上（2）问中倾斜的传送带，且传送带以4m/s速度向上运动，要使物体仍能到达C点，求物块初速度v0至少多大．
正确答案
（1）物块在AB段：由牛顿第二定律
F-μmg=ma1
a1=6m/s2
则到达B点时速度为vB，由2a1x=vB2得
v=
滑上传送带μmg=ma2刚好到达C点，有
传送带长度L=2.4m
（2）将传送带倾斜，滑上传送带
由mgsin37°+μmgcos37°=ma3 得
a3=10m/s2
物体仍能刚好到达c 端
在AB段
F-μmg=ma
联立解得
F=17N
（3）要使物体能到达C点，物块初速度最小时，有物块滑到C时刚好和传送带具有相同速度
解得
vB=8m/s
物块在AB做加速运动
解得
v0=2
答：（1）传送带长度为2.4m
（2）拉力F为17N
（3）初速度为2
如图所示，在一个水平向右匀加速直线运动的质量为M的车厢里，用一个定滑轮通过绳子悬挂两个物体，物体的质量分别为m1、m2．已知m1＜m2，m2静止在车厢的地板上，m1向左偏离竖直方向θ角．这时，
（1）汽车的加速度有多大？并讨论汽车可能的运动情况．
（2）作用在m2上的摩擦力大小是多少？
（3）车厢的地板对m2的支持力为多少？
正确答案
（1）物体1与车厢具有相同的加速度，对物体1分析，受重力和拉力，根据合成法知，F合=m1gtanθ，T=
（2）物体2加速度为gtanθ，对物体2受力分析，受重力、支持力和摩擦力，水平方向有：f=ma=mgtanθ
（3）竖直方向有：N=m2g-T=m2g-
答：（1）汽车的加速度为gtanθ汽车向右加速或者向左减速；
（2）作用在m2上的摩擦力大小是m2gtanθ；
（3）车厢的地板对m2的支持力为m2g-
（1）如图1所示，是某同学所安装的“验证牛顿第二定律”的实验装置，他在图示状态下开始做实验，该同学的装置和操作中的主要错误是：
①______；②______；
③______；④______．
（2）如图2为某次实验得到的纸带，纸带上相邻计数点间有4个点未画出，则小车的加速度大小为
______m/s2．（保留两位有效数字）
（3）控制砂桶与里面砝码的总质量不变，改变小车的质量M，实验中得到如图3所示的a-
正确答案
（1）由图1所示实验装置图可知，存在的问题有：
①打点计时器没有使用交流电源；②没有平衡摩擦力；
③细线与木板不平行；④小车没有靠近打点计时器．
（2）计数点间的时间间隔t=0.02s×5=0.1s，小车的加速度：
a=
（3）a-
在表明在砂桶对小车没有施加拉力前，小车已经具有加速度，
小车受到的合力大于砂桶的拉力，这是由于在平衡摩擦力时，
木板被垫地过高，平衡摩擦力过度造成的．
故答案为：（1）①打点计时器没有使用交流电源；②没有平衡摩擦力；
③细线与木板不平行；④小车没有靠近打点计时器．
（2）0.64；（3）平衡摩擦力时木板垫的过高．
如图，在一个平面直角坐标系内，原点O处有一质点，质量为m．为使质点到达坐标为（d，d）的点P，现给质点施以大小为F的恒力，在起初的时间t1内该力方向为x轴正方向，之后的时间t2内该力变为y轴正方向，经过这两段运动质点刚好到达P点．试求：
（1）比值t1：t2；
（2）质点到达P点时的速度．
正确答案
（1）物体运动时的加速度a=
在t1时间内x方向做匀变速直线运动，位移
x1=
t1时间末速度v1=at1 （3）
t2时间内x方向为匀速直线运动，位移x2=v1t2=at1t2 （4）
y方向上做匀变速直线运动，位移y2=
y方向上末速度v2=at2 （6）
物体最终到达P点，有：
x1+x2=d （7）
y2=d （8）
根据（2）（4）（5）（7）（8）解得
（2）根据（1）（5）（8）可解得
t2=
由（9）（10）可得
t1=(
由（1）（3）（11）可解得质点在x方向上的末速度
v1=(
由（1）（6）（10）可得质点在y方向上的末速度为
v2=
则v=
答：（1）比值t1：t2=
（2）质点到达P点时的速度为
如图所示，水平面上有一个质量m=2kg的物体，物体与水平面的动摩擦因数为μ=0.2，在F=14N的水平力作用下，由静止开始沿水平面做匀加速直线运动．求：
（1）物体运动的加速度是多大？
（2）6s内通过的距离是多少？
正确答案
解（1）根据牛顿第二定律得：
a=
（2）根据匀加速直线运动位移时间公式得：
x=v0t+
答：（1）物体运动的加速度是5m/s2（2）6s内通过的距离是90m．
把一个质量2kg的物块放在水平面上，用12N的水平拉力使物块从静止开始运动，物块与水平面的动摩擦因数为0.2，物块运动2秒未撤去拉力，g取10m/s2．求：
（1）2秒末物块的瞬时速度．
（2）此后物块在水平面上还能滑行的最大距离．
正确答案
（1）根据牛顿第二定律得，F-μmg=ma1
解得a1=
则2s末的速度v=at=8m/s．
（2）物体做匀减速直线运动的加速度a2=
则物块在水平面上还能滑行的最大距离x=
答：（1）2秒末物块的瞬时速度8m/s
（2）此后物块在水平面上还能滑行的最大距离16m．
如图所示，水平面上有两电阻不计的金属导轨平行固定放置，间距d 为0.5米，左端通过导线与阻值为2欧姆的电阻R连接，右端通过导线与阻值为4欧姆的小灯泡L连接；在CDEF矩形区域内有竖直向上均匀磁场，CE长为2米，CDEF区域内磁场的磁感应强度B如图所示随时间t变化；在t=0s时，一阻值为2欧姆的金属棒在恒力F作用下由静止从AB位置沿导轨向右运动，金属棒与金属导轨的摩擦力为0.2N．当金属棒从AB位置运动到EF位置过程中，小灯泡始终正常发光．求：
（1）小灯泡的额定电流强度；
（2）恒力F的大小；
（3）运动到EF位置过程中金属棒的最大动能．
正确答案
（1）在金属棒棒未进磁场，电路中总电阻：R总=RL+
线框中感应电动势：E1=
灯泡的额定电流强度：IL=
（2）因灯泡中亮度不变，故在4秒末金属棒棒刚好进入磁场，且作匀速直线运动，
此时金属棒棒中的电流强度：I=IL+IR=IL+
恒力F的大小：F=FA+f=BId+f=2×0.3×0.5 N+0.2N=0.5 N
（3）金属棒产生感应电动势：E2=I(R+
金属棒在磁场中的速度：v=
金属棒的加速度：a=
据牛顿第二定律，金属棒的质量：m=
Ek=
答：（1）小灯泡的额定电流强度0.1A；
（2）恒力F的大小0.5N；
（3）运动到EF位置过程中金属棒的最大动能为0.6J．
有一架电梯，启动时匀加速上升，加速度为2m/s2，制动时匀减速上升，加速度为-1m/s2，楼高52m．求：
（1）若上升的最大速度为6m/s，电梯升到楼顶的最短时间是多少？
（2）如果电梯先加速上升，然后匀速上升，最后减速上升，全程共用16秒，上升的最大速度是多少？
正确答案
（1）匀加速直线运动的位移x1=
匀减速直线运动的位移x2=
匀速运动的位移x3=x-x1-x2=25m，则匀速直线运动的时间t3=
则电梯升到楼顶的最短时间为t=t1+t2+t3=13.2s．
（2）设最大速度为v．
则匀加速直线运动的位移x1=
匀速运动的位移x2=vt2
匀减速直线运动的位移x3=
因为x1+x2+x3=52m，t1+t2+t3=16s
联立解得v=4m/s．
答：（1）若上升的最大速度为6m/s，电梯升到楼顶的最短时间是13.2s．
（2）上升的最大速度是4m/s．
两根足够长的光滑平行导轨与水平面的夹角θ=30°，宽度L=0.2m，导轨间有与导轨平面垂直的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，如图所示，在导轨间接有R=0.2Ω的电阻，一质量m=0.01kg、电阻不计的导体棒ab，与导轨垂直放置，无初速释放后与导轨保持良好接触并能沿导轨向下滑动．（g取10m/s2）
（1）求ab棒的最大速度．
（2）若将电阻R换成平行板电容器，其他条件不变，试判定棒的运动性质．若电容C=1F，求棒释放后4s内系统损失的机械能．
正确答案
（1）设某时刻ab的速度为v
则感应电动势E=BLv，电流强度 I=
棒所受安培力
则由牛顿第二定律得 mgsinθ-FB=ma
代入得 mgsinθ-
当a=0时，有 vm=
（2）设t时刻棒的加速度为a，速度为v，产生的电动势为E，（t+△t）（△t→0）时刻，棒的速度为（v+△v），电动势为E′，则
E=BLv E′=BL（v+△v）
△t内流过棒截面的电荷量△q=C（E'-E）=CBL△v
电流强度I=
棒受的安培力FB=BIL=
由牛顿第二定律，t时刻对棒有 mgsinθ-FB=ma
即 mgsinθ-CB2L2a=ma
故 a=
故棒做匀加速直线运动．
当t=4s时，v=at=10m/s x=
由能量守恒：△E=mgxsinθ-
答：
（1）ab棒的最大速度为1m/s．
（2）若将电阻R换成平行板电容器，棒释放后4s内系统损失的机械能为0.5J．
如图用放在水平面上的质量为M=50kg的电动机提升重物，重物质量m=40kg，提升时重物以a=1.0m/S2的加速度上升，已知g=10m/S2，则：
（1）电动机对地面的压力为多少？
（2）若要使电动机不离开地面，重物上升的加速度不能超过多少？
正确答案
（1）对重物受力，由牛顿第二定律可知：
FT-mg=ma
对电动机受力可知：FN+FT=Mg
联立可得：FN=60N
由牛顿第三定律可知，电动机对地面的压力为60N．
（2）当电动机恰好不离开地面时，对电动机受力可知：FT=Mg
对重物可知：FT-mg=ma
联立可得：a=2.5m/s2
所以，重物上升的加速度不能超过a=2.5m/s2．
答：
（1）电动机对地面的压力为60N．
（2）若要使电动机不离开地面，重物上升的加速度不能超过2.5m/s2．
在与x轴平行的匀强电场中，一带电量为2×10-6C、质量为4×10-2kg的带电物体在绝缘光滑水平面上沿着x轴做直线运动，其位移随时间的变化规律是x=0.3t-0.05t2，式中x、t均用国际单位制的基本单位．求：
（1）该匀强电场的场强；
（2）从开始运动到第5s末带电物体所运动的路程；
（3）若第6s末突然将匀强电场的方向变为+y轴方向，场强大小保持不变，在0～8s内带电物体电势能的增量．
正确答案
（1）根据位移与时间的关系式x=0.3t-0.05t2得知，带电体的初速度为v0=0.3m/s，加速度a=-0.1m/s2．
根据牛顿第二定律得：qE=ma，得场强E=
代入解得，E=2×103N/C
（2）带电体速度减至零的时间为 t1=
则第3s末以后带电体沿相反方向做初速度为零的匀加速运动，时间t2=2s．
故第5s末带电物体所经过的路程为 s=x1+x2=（0.3t1-0.05t12）+
（3）第1s末到第3s末带电体的位移大小为：x1=0.45m
第3s末到第6s末带电体的位移大小为：x3=
所以第6s末带电物体的位移为0，
第8s末位移为 y=
故带电物体电势能的增量为△E=-Eqy=-2×103×2×10-6×0.2J=-8×10-4J
答：
（1）该匀强电场的场强是2×103N/C；
（2）从开始运动到第5s末带电物体所运动的路程是0.65m；
（3）若第6s末突然将匀强电场的方向变为+y轴方向，场强大小保持不变，在0～8s内带电物体电势能的增量是-8×10-4J．
如图，光滑圆弧轨道与水平轨道平滑相连．在水平轨道上有一轻质弹簧，右端固定在墙M上，左端连接一个质量为2m的滑块C．开始C静止在P点，弹簧正好为原长．在水平轨道上方O处，用长为L的细线悬挂一质量为m的小球B，B球恰好与水平轨道相切于D点，并可绕O点在竖直平面内运动．将质量为m的滑块A从距水平轨道3L高处由静止释放，之后与静止在D点的小球B发生碰撞，碰撞前后速度发生交换．经一段时间A与C相碰，碰撞时间极短，碰后粘在一起压缩弹簧，弹簧最大压缩量为
（1）滑块A与球B碰撞前瞬间的速度大小v0；
（2）小球B运动到最高点时细线的拉力大小T；
（3）弹簧的最大弹性势能EP．
正确答案
（1）对A，根据机械能守恒定律
mg•3L=
求出 v0=
（2）A与B碰后交换速度，小球在D点的速度vD=v0
设小球经过最高点的速度为vB，根据机械能守恒定律
小球在最高点，根据牛顿第二定律mg+T=
求出 T=mg
（3）小球从最高点下落后与A相碰后交换速度，A球以v0的速度与C相碰．
设A与C碰后瞬间的共同速度为v，根据动量守恒定律
mv0=（m+2m）v
A、C一起压缩弹簧，根据能量守恒定律
求出 EP=mgL（1-μ）
答：（1）滑块A与球B碰撞前瞬间的速度大小是
（2）小球B运动到最高点时细线的拉力大小是 mg；
（3）弹簧的最大弹性势能是mgL（1-μ）．
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