- 与圆有关的比例线段
- 共748题
（几何证明选讲选做题）如图，⊙O的直径
正确答案
略
如图，已知
正确答案
试题分析：设线段
所以
由双割线定理可得
如图，圆O与圆O′内切于点T，点P为外圆O上任意一点，PM与内圆O′切于点M.求证：PM∶PT为定值．
正确答案
见解析
证明：设外圆半径为R，内圆半径为r，作两圆的公切线TQ.
设PT交内圆于C，连结OP，O′C，则PM2＝PC·PT，所以
由弦切角定理知∠POT＝2∠PTQ，∠CO′T＝2∠PTQ，
则∠POT＝∠CO′T，所以PO∥CO′，
所以
如图，PA切圆O于点A，割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的角平分线分别与AB、AC相交于点D、E，求证：
(1)AD＝AE；
(2)AD2＝DB·EC.
正确答案
（1）见解析（2）见解析
证明：(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.因为PE是∠APC的角平分线，所以∠EPC＝∠APD.又PA是圆O的切线，故∠C＝∠PAB.所以∠AED＝∠ADE.所以AD＝AE.
(2)
如图所示，圆
正确答案
试题分析：由于
如图所示,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=
(1)求证:A,E,F,D四点共圆;
(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.
正确答案
(1)见解析 (2)
(1)证明:∵AE=
又∵AD=
又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,
∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,
∴∠ADF+∠AEF=π,
∴A,E,F,D四点共圆.
(2)解:如图所示,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=
∵AE=
∵AD=
∴△AGD为正三角形,
∴GD=AG=AD=
所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为
由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为
如图，PT切⊙O于T，PAB、PDC是圆O的两条割线，PA＝3，PD＝4，PT＝6，AD＝2，求弦CD的长和弦BC的长．
正确答案
CD＝5 BC＝6
解 由已知可得PT2＝PA·PB，
且PT＝6，PA＝3，∴PB＝12.
同理可得PC＝9，∴CD＝5.
∵PD·PC＝PA·PB，∴
∴△PDA∽△PBC，
∴
如图所示，已知AB为半⊙O的直径，直线MN切半圆于点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，BE交半圆于点F，AD＝3cm，BE＝7cm.(1)则⊙O的半径为________；(2)则线段DE的长为________．
正确答案
(1) 5cm；(2)2
(1)连接OC.∵MN切半圆于点C，∴OC⊥MN.
∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴AD∥OC∥BE.
∵OA＝OB，∴CD＝CE.
∴OC＝
∴⊙O的半径为5cm.
(2)连接AF.∵AB为半⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°.∴∠AFE＝90°.
又∵∠ADE＝∠DEF＝90°，∴四边形ADEF为矩形．
∴DE＝AF，AD＝EF＝3cm.
在Rt△ABF中，BF＝BE－EF＝4cm，AB＝2OC＝10cm.
∴AF＝
∴DE＝2
如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是⊙O的割线，AC=AB.
（1）证明：AC2=AD·AE
（2）证明：FG∥AC
正确答案
见解析
（1）∵
∴
∴
又∵四边形
∴
∴
∴
如图所示,锐角三角形ABC的内心为I,过点A作直线BI的垂线,垂足为H,点E为圆I与边CA的切点.
(1)求证A,I,H,E四点共圆;
(2)若∠C=50°,求∠IEH的度数.
正确答案
(1)见解析 (2) 25°
解:(1)由圆I与AC相切于点E得IE⊥AC,结合HI⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°,所以A,I,H,E四点共圆.
(2)由(1)知A,I,H,E四点共圆,所以∠IEH=∠HAI.由题意知∠HIA=∠ABI+∠BAI=
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