- 导数的应用
- 共21题
已知函数f(x)=alnx+bx2-(b+a)x.
(Ⅰ)当a=1,b=0时,求f(x)的最大值;
(Ⅱ)当b=1时,设α,β是f(x)两个极值点,且α<β,β∈(1,e](其中e为自然对数的底数).求证:对任意的x1,x2∈[α,β],|f(x1)-f(x2)|<1.
正确答案
(Ⅰ)解:当a=1,b=0时,f(x)=lnx-x(x>0),
导数f′(x)=,当x>1时,f′(x)<0,
当0<x<1时,f′(x)>0,
∴x=1时,函数取极大值,也为最大值,且为-1;
(Ⅱ)证明:当b=1时,f(x)=alnx+x2-(1+a)x,
导数f′(x)=+x-(1+a)=(x>0),
∵α,β是f(x)两个极值点,且α<β,β∈(1,e],
∴α=1,β=a,(1<a≤e),
∴当1<x<a时,f′(x)<0,即函数f(x)递减,
当x>a或0<x<1,f′(x)>0,即函数f(x)递增,
∵任意的x1,x2∈[α,β],则函数f(x)在该区间内是减函数,
∴f(1)最大且为-(1+a),f(a)最小且为alna+a2-(1+a)a,
∴|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(a)=-(1+a)-alna-a2+(1+a)a
=(a2-1)-alna,
令g(x)=(x2-1)-xlnx(1<x≤e)
则g′(x)=x-1-lnx,g′(1)=0,g′(e)=e-1-1>0,
∴g(x)在(1,e]上递增,
故g(x)≤(e2-1)-elne=,即(a2-1)-alna≤,
而<1,
∴|f(x1)-f(x2)|<1.
解析
(Ⅰ)解:当a=1,b=0时,f(x)=lnx-x(x>0),
导数f′(x)=,当x>1时,f′(x)<0,
当0<x<1时,f′(x)>0,
∴x=1时,函数取极大值,也为最大值,且为-1;
(Ⅱ)证明:当b=1时,f(x)=alnx+x2-(1+a)x,
导数f′(x)=+x-(1+a)=(x>0),
∵α,β是f(x)两个极值点,且α<β,β∈(1,e],
∴α=1,β=a,(1<a≤e),
∴当1<x<a时,f′(x)<0,即函数f(x)递减,
当x>a或0<x<1,f′(x)>0,即函数f(x)递增,
∵任意的x1,x2∈[α,β],则函数f(x)在该区间内是减函数,
∴f(1)最大且为-(1+a),f(a)最小且为alna+a2-(1+a)a,
∴|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(a)=-(1+a)-alna-a2+(1+a)a
=(a2-1)-alna,
令g(x)=(x2-1)-xlnx(1<x≤e)
则g′(x)=x-1-lnx,g′(1)=0,g′(e)=e-1-1>0,
∴g(x)在(1,e]上递增,
故g(x)≤(e2-1)-elne=,即(a2-1)-alna≤,
而<1,
∴|f(x1)-f(x2)|<1.
有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数为s=s(t)=5-,求当t=1s时,梯子上端下滑的速度为( )
正确答案
解析
解:v=s′=,
当t=1时,v==.
∴当t=1s时,梯子上端下滑的速度为.
故选A.
对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f″(x)是函数y=f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现为条件,解答问题:若函数g(x)=x3-x2+3x-+,则的值是( )
正确答案
解析
解:由题意,令h(x)=x3-x2+3x-,m(x)=
则h′(x)=x2-x+3,∴h″(x)=2x-1,
令h″(x)=0,可得x=
∴h()=1,即h(x)的对称中心为(,1),
∴h(x)+h(1-x)=2
∵m(x)=的对称中心为(,0)
∴m(x)+m(1-x)=0
∵g(x)=h(x)+m(x)
∴g(x)+g(1-x)=h(x)+h(1-x)+m(x)+m(1-x)=2
∴=2010
故选A.
质量为10kg的物体按s(t)=3t2+t+4m的规律作直线运动,则物体在运动4s时的瞬时速度是______.
正确答案
25 m/s
解析
解:求导函数可得:s′(t)=6t+1
∴t=4时,s′(4)=6×4+1=25
即物体在运动4s时的瞬时速度是25 m/s
故答案为:25 m/s
如图,酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深8cm,上口宽6cm,水以20cm2/s的流量倒入杯中,当水深为4cm时,求水面升高的瞬时变化率.
正确答案
解:由题意,如图,设t时刻水面高为h,水面圆半径是r,
由图知=可得r=h,此时水的体积为×π×r2×h=
又由题设条件知,此时的水量为20t
故有20t=,故有h=
h‘=×
又当h=4时,有t=,故h=4时,h'=
当水深为4cm时,则水面升高的瞬时变化率是cm/s.
解析
解:由题意,如图,设t时刻水面高为h,水面圆半径是r,
由图知=可得r=h,此时水的体积为×π×r2×h=
又由题设条件知,此时的水量为20t
故有20t=,故有h=
h‘=×
又当h=4时,有t=,故h=4时,h'=
当水深为4cm时,则水面升高的瞬时变化率是cm/s.
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