热门试卷

.证明：（Ⅰ）∵，为线段的中点，

∴，，-------------------------------------------------------1分

故在四棱锥中，

又∵，且、为相交直线，

∴平面，-----------------------------------------------------------3分

又平面，∴平面平面；---------------------------------5分

（Ⅱ）设，则，，

在等腰直角中，，；---------------------------6分

由（Ⅰ）知是四棱锥的高，

故，

整理得，∴，--------------------------8分

连结，在中，由余弦定理可求得，

于是，

∵ 为等腰三角形，其面积；------------------------------------10分

设点F到平面的距离为，因,

由

所以点F到平面的距离为-----------------------------------------------12分

(1)设点O为AC，BD的交点。

由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线。

所以O为AC的中点，BD⊥AC.

又因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PA⊥BD.

所以BD⊥平面APC.

(2)连结OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角。

由题意得OG＝PA＝.

在△ABC中，

AC＝

＝，

所以OC＝AC＝.

在直角△OCD中，OD＝＝2.

在直角△OGD中，tan∠OGD＝.

所以DG与平面APC所成的角的正切值为.

(3)连结OG.因为PC⊥平面BGD，OG平面BGD，所以PC⊥OG.

在直角△PAC中，得PC＝.

所以GC＝.

从而PG＝，

所以

（1）平面,

平面，

，……………………4分

异面直线与所成角的大小为。…………………6分

（2）连结，在中，由余弦定理得：

，  ………………………8分

由题设知，所得几何体为圆锥，其底面积为 ，高为。……10分

该圆锥的体积为。  …………………12分

（1）证明：在正中，是的中点，所以。

因为是的中点，是的中点，所以，故。

又，，平面，

所以平面

因为平面，所以。

又平面，

所以平面。

（2）解法1：设点到平面的距离为，

因为，是的中点，所以。

因为为正三角形，所以。

因为，所以。

所以。

因为，

由（1）知，所以。

在中，，

所以。

因为，

所以，

即。

所以。

故点到平面的距离为。

解法2：

过点作直线的垂线，交的延长线于点，

由（1）知，平面，，

所以平面。

因为平面，所以。

因为，所以平面。

所以为点到平面的距离。

因为，是的中点，所以。

因为为正三角形，所以，……10分

因为为的中点，所以。

以下给出两种求的方法：

方法1：在△中，过点作的垂线，垂足为点，

则。

因为，

所以

方法2：在△中，。          ①

在△中，因为，

所以，

即。                          ②

由①，②解得。

故点到平面的距离为。