- 空间两点间的距离公式
- 共8题
18.如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
(I)证明G是AB的中点;
(II)在答题卡第(18)题图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
正确答案
(1)证明
∵ PD 面ABC ∴ PD
AB
∵ DE面PAB ∴ DE
AB
又∵ PDDE ∴ AB
平面PGD ∴ PG
AB
∵ 正三棱锥P-ABC中PA=PB ∴ G为AB中点
(2)正三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC ∵ 各侧面为直角三角形
∴PAPB,PB
PC,PC
PA,∴ PB
平面PAC
作EF//PB交PA于F 则EF面PAC ∴ F为E在平面PAC内正投影
正三棱锥P-ABC中,D 为三角形ABC的重心,PA=6 ∴ AB=
∴DG=PG=
∴PD=
中由摄影定理PD=PE
PG ∴ PE=
∵ 为等腰三角形,EF
PA ∴EF=PF=
D-PEF的高为DE.
RtPGD中 DE=
=2
∴四面体PDEF体积
知识点
18.
如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
(I)证明G是AB的中点;
(II)在答题卡第(18)题图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
正确答案
(1)证明:∵ PD面ABC ∴ PD
AB
∵ DEB ∴ DE
AB
又∵ PD ∴ AB
平面PGD ∴ PG
∵ 正三棱锥P-ABC中PA=PB ∴ G为AB中点
(2) 正三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC ∵ 各侧面为直角三角形
∴ PA, PB
, PC
, ∴ PB
作EF//PB交PA于F 则EF ∴ F为E在平面PAC内正投影
正三棱锥P-ABC中,D为三角形ABC的重心,PA=6 ∴ AB=6
∴ DG=PG=3
∴ PD=
=
Rt△PGD中由射影定理PD=PE·PG ∴ PE=
∵ △PAB为等腰直角三角形,EF ∴ EF=PF=
×
=2
∴ S△PAB=×2×2=2. D-PEF的高为DE.
Rt△PGD中 DE==
=2
∴ 四面体PDEF体积 VD-PEF=·S△PEF×DE=
×2×2=
知识点
19.如图4所示,在矩形中,
,
为线段
的中点,
是
的中点,将
沿直线
翻折成
,使得
,
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若四棱锥的体积为
,求点F到平面
的距离.
正确答案
(1)略;(2);
解析
.证明:(Ⅰ)∵,
为线段
的中点,
∴,
,-------------------------------------------------------1分
故在四棱锥中,
又∵,且
、
为相交直线,
∴平面
,-----------------------------------------------------------3分
又平面
,∴平面
平面
;---------------------------------5分
(Ⅱ)设,则
,
,
在等腰直角中,
,
;---------------------------6分
由(Ⅰ)知是四棱锥
的高,
故,
整理得,∴
,--------------------------8分
连结,在
中,由余弦定理可求得
,
于是,
∵ 为等腰三角形,其面积
;------------------------------------10分
设点F到平面
的距离为
,因
,
由
所以点F到平面的距离为
-----------------------------------------------12分
考查方向
解题思路
第(1)问先根据等腰证明,进而可以证明
平面
;
第(2)问先证明是四棱锥
的高,然后利用等体积法求出点F到平面
的距离。
易错点
无法找到线面垂直的条件;找不到是四棱锥
的高。
知识点
如图,四棱锥,侧面
是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面
是
的菱形,
为
的中点.
22.求证:;
23.求点到平面
的距离
正确答案
(1)略;
解析
(1):取中点
,连结
,依题意可知
均为正三角形,所以
,又
平面
平面
,所以
平面
,又
平面
,所以
.
考查方向
解题思路
先证明平面
,后即可证明所证。
易错点
不会做辅助线导致没有思路;
正确答案
(2)
解析
(2)点到平面
的距离即点
到平面
的距离,由(1)可知
,又平面
平面
,平面
平面
,
平面
,所以
平面
,即
为三棱锥
的体高.在
中,
,在
中
,边
上的高
,所以
的面积
,设点
到平面
的距离为
,由
得,
,又
,,解得
,所以点
到平面
的距离为
考查方向
解题思路
先发现点到平面
的距离即点
到平面
的距离,然后利用等体积法求解即可。
易错点
看不出点到平面
的距离即点
到平面
的距离导致没有思路或运算错误。
如图,在三棱柱中,
是等边三角形,
,
是
中点.
22.求证:平面
;
23.当三棱锥体积最大时求点
到平面
的距离.
正确答案
(略)
解析
连结,交
于
,连
.在三棱柱
中,四边形
为平行四边形,则
,又
是
中点,∴
,而
平面
,
平面
,∴
平面
.
考查方向
解题思路
关键是在面DCB1中找线,连结,交
于
,可证DO//A1B
易错点
确定“三棱锥体积最大时”的条件
正确答案
解析
设点到平面
的距离是
,则
,而
,故当三棱锥
体积最大时,
,即
平面
.
由(Ⅰ)知:,所以
到平面
的距离与
到平面
的距离相等.
∵平面
,
平面
,∴
,
∵是等边三角形,
是
中点,∴
,又
,
平面
,
平面
,∴
平面
,∴
,由计算得:
,所以
, 设
到平面
的距离为
,由
得:
,所以
到平面
的距离是
考查方向
解题思路
当三棱锥体积最大时,
,即
平面
,再利用体积桥即可求得点
到平面
的距离.
易错点
确定“三棱锥体积最大时”的条件
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=
,∠ABC=120°,G为线段PC上的点。
(1)证明:BD⊥平面APC;
(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成的角的正切值;
(3)若G满足PC⊥平面BGD,求的值。
正确答案
见解析
解析
(1)设点O为AC,BD的交点。
由AB=BC,AD=CD,得BD是线段AC的中垂线。
所以O为AC的中点,BD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面APC.
(2)连结OG.由(1)可知OD⊥平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以∠OGD是DG与平面APC所成的角。
由题意得OG=PA=
.
在△ABC中,
AC=
=,
所以OC=AC=
.
在直角△OCD中,OD==2.
在直角△OGD中,tan∠OGD=.
所以DG与平面APC所成的角的正切值为.
(3)连结OG.因为PC⊥平面BGD,OG平面BGD,所以PC⊥OG.
在直角△PAC中,得PC=.
所以GC=.
从而PG=,
所以
知识点
如图,弧是半径为
的半圆,
为直径,点
为弧
的中点,点
和点
为线段
的三等分点,线段
与弧
交于点
,且
,平面
外一点
满足
平面
,
。
(1)求异面直线与
所成角的大小;
(2)将(及其内部)绕
所在直线旋转一周形成一几何体,求该几何体的体积。
正确答案
见解析
解析
(1)平面
,
平面
,
,……………………4分
异面直线
与
所成角的大小为
。…………………6分
(2)连结,在
中,由余弦定理得:
, ………………………8分
由题设知,所得几何体为圆锥,其底面积为 ,高为
。……10分
该圆锥的体积为。 …………………12分
知识点
如图6,在三棱锥中,
,
,
为
的中点,
为
的中点,且△
为正三角形。
(1)求证:平面
;
(2)若,
,求点
到平面
的距离。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:在正中,
是
的中点,所以
。
因为是
的中点,
是
的中点,所以
,故
。
又,
,
平面
,
所以平面
因为平面
,所以
。
又平面
,
所以平面
。
(2)解法1:设点到平面
的距离为
,
因为,
是
的中点,所以
。
因为为正三角形,所以
。
因为,所以
。
所以。
因为,
由(1)知,所以
。
在中,
,
所以。
因为,
所以,
即。
所以。
故点到平面
的距离为
。
解法2:
过点作直线
的垂线,交
的延长线于点
,
由(1)知,平面
,
,
所以平面
。
因为平面
,所以
。
因为,所以
平面
。
所以为点
到平面
的距离。
因为,
是
的中点,所以
。
因为为正三角形,所以
,……10分
因为为
的中点,所以
。
以下给出两种求的方法:
方法1:在△中,过点
作
的垂线,垂足为点
,
则。
因为,
所以
方法2:在△
中,
。 ①
在△
中,因为
,
所以,
即。 ②
由①,②解得。
故点到平面
的距离为
。
知识点
18.如图,三角形
所在的平面与长方形
所在的平面垂直,
,
,
。
(1)证明:平面
;
(2)证明:;
(3)求点到平面
的距离。
正确答案
(1)由四边形是长方形可证
,进而可证
平面
;
(2)先证,再证
平面
,进而可证
;
(3)取的中点
,连结
和
,先证
平面
,再设点
到平面
的距离为
,利用
可得
的值,进而可得点
到平面
的距离。
试题解析:
(1)因为四边形是长方形,所以
,因为
平面
,
平面
,所以
平面
(2)因为四边形是长方形,所以
,因为平面
平面
,平面
平面
,
平面
,所以
平面
,因为
平面
,所以
(3)取的中点
,连结
和
,因为
,所以
,在
中,
,因为平面
平面
,平面
平面
,
平面
,所以
平面
,由(2)知:
平面
,由(1)知:
,所以
平面
,因为
平面
,所以
,设点
到平面
的距离为
,因为
,所以
,即
,所以点
到平面
的距离是
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
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