热门试卷

解：（1）设所求直线方程为y=﹣2x+b，即2x+y﹣b=0，∵直线与圆相切，

∴，得，

∴所求直线方程为，

（2）方法1：假设存在这样的点B（t，0），

当P为圆C与x轴左交点（﹣3，0）时，；

当P为圆C与x轴右交点（3，0）时，，

依题意，，解得，t=﹣5（舍去），或．

下面证明点对于圆C上任一点P，都有为一常数．

设P（x，y），则y2=9﹣x2，

∴，

从而为常数．

方法2：假设存在这样的点B（t，0），使得为常数λ，则PB2=λ2PA2，

∴（x﹣t）2+y2=λ2[（x+5）2+y2]，将y2=9﹣x2代入得，

x2﹣2xt+t2+9﹣x2=λ2（x2+10x+25+9﹣x2），

即2（5λ2+t）x+34λ2﹣t2﹣9=0对x∈[﹣3，3]恒成立，

∴，解得或（舍去），

所以存在点对于圆C上任一点P，都有为常数．

解：（Ⅰ）由题设及，

不妨设点A（c，y），其中y＞0，

由于点A在椭圆上，有，，

解得，从而得到，

直线的方程为，整理得，

由题设，原点O到直线的距离为，

即，

将代入原式并化简得，即。

 （Ⅱ）圆上的任意点处的切线方程为，

当t∈（0，b）时，圆上的任意点都在椭圆内，

故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点，

因此点的坐标是方程组的解，

当时，由①式得，

代入②式，得，

即，

于是，

，

若，则

，

所以，，

由，得，

在区间（0，b）内此方程的解为，

 当时，必有，同理求得在区间（0，b）内的解为，

另一方面，当时，可推出，从而；

综上所述，使得所述命题成立．