- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
正确答案
解析
解：如图所示，把此三棱柱沿着AA1剪开展开为：
当蚂蚁爬过的路程最短时，点M，N分别是对角线AA1与CC1，BB1的交点，
因此直线MN与平面ABC所成角即为∠MAC，
∴sin∠MAC=
故答案为：
（1）求该三棱柱的侧面积；
（2）求异面直线AB与C1D所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
正确答案
所以S侧=3×2×3=18．…（6分）
（2）取AC中点E，连接DE、C1E，
则ED∥AB，所以，∠C1DE（或其补角）就是异面直线AB与C1D所成的角．…（8分）
在△C1DE中，
所以
所以，异面直线AB与C1D所成角的大小为
（或
解析
所以S侧=3×2×3=18．…（6分）
（2）取AC中点E，连接DE、C1E，
则ED∥AB，所以，∠C1DE（或其补角）就是异面直线AB与C1D所成的角．…（8分）
在△C1DE中，
所以
所以，异面直线AB与C1D所成角的大小为
（或
（Ⅰ）证明：AE⊥BC；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点F使得PF与面DBC所成的角为60°，若存在，试确定点F的位置，若不存在，说明理由．
正确答案
证明：（I）取BC的中点O，连接EO，AO，
EO∥DC所以EO⊥BC．（1分）
因为△ABC为等边三角形，所以BC⊥AO（3分）
所以BC⊥面AEO，故BC⊥AE（4分）
（II）以BC的中点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，
OE所在的直线为z轴建立空间坐标系，不妨设BC=2，
则
则
而平面BCD的一个法向量
则由
解得y=0，
故存在F，且F为BC的中点，使得PF与面DBC所成的角为60°．
解析
证明：（I）取BC的中点O，连接EO，AO，
EO∥DC所以EO⊥BC．（1分）
因为△ABC为等边三角形，所以BC⊥AO（3分）
所以BC⊥面AEO，故BC⊥AE（4分）
（II）以BC的中点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，
OE所在的直线为z轴建立空间坐标系，不妨设BC=2，
则
则
而平面BCD的一个法向量
则由
解得y=0，
故存在F，且F为BC的中点，使得PF与面DBC所成的角为60°．
正确答案
解析
解：把图形补成直棱柱，则
∵BC⊥平面DCC1D1，∴平面PBCD1⊥平面DCC1D1，
作DE⊥CD1，则DE⊥平面PBCD1，∴∠DPE就是PD与平面PBC所成的角，
DP=
∴sin∠DPE=
∵
∴0＜
∴直线PD与平面PBC所成角的正弦值的取值范围是
故答案为：
正三棱锥的侧棱长为2
A
B
C
D
正确答案
解析
解：如图，正三棱锥S-ABC，底面中心为O，取BC中点D，连接SO，BO，OD，则：
SO⊥底面ABC，OD⊥BC；
∴∠SBO为侧棱SB和底面ABC所成角为60°；
∴∠SBO=60°，SB=
∴在RT△SBO中，OB=
∴
∴
∴
故选：C．
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