热门试卷

解：（1）以点为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为的正半轴建立空间直角坐标系（如右图所示），则点、、、，则，.设异面直线与所成角为

,所以异面直线与所成角的余弦值为.

（2）假设在线段上存在一点满足条件，设点，平面的法向量为

，则有 得到，取，所以，则，又，解得，所以点即，则.所以在线段上存在一点满足条件，且长度为.

略

（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，由，有面,从而得到线线垂直；（Ⅱ）作，垂足为，则面，连接，得到直线与平面所成的角为,求得.

试题解析：

（Ⅰ）证明面面 又 面

（Ⅱ）解：作，垂足为，则面，

连接

设，则，设

由题意

则

解得

由（Ⅰ）知面

直线与平面所成的角的正弦值，.

（1）（2）

命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题，属★★★★★级题目.

知识依托：向量的加、减及向量的数量积.

错解分析：注意＜＞=＜,＞=120°而不是60°,＜＞=90°.

技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.

∴BD1与AC所成角的余弦值为

取DD1的中点G，可证四边形ABFG是平行四边形，得出BF∥AG，

则∠GAE是异面直线AE与BF所成的角．连GF，设正方体棱长为a，

，．

在△AEG中，由余弦定理得

∴．